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वेन आरेख

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समुच्चयों को व्यक्त करने वाली ज्यामितीय आकृतियों को वेन आरेख कहते हैं। इस अध्याय से पूछे जाने वाले प्रश्न मुख्यत: दो प्रकार के होते हैं

(i) आरेखों के माध्यम से दी गई वस्तुओं के समूहों को वर्गीकृत करना।
(ii) संख्याओं या अक्षरों के माध्यम से किसी विशेष वर्ग के अन्तर्गत आने वाली वस्तुओं अथवा उसकी संख्या को ज्ञात करना।


आरेखों के माध्यम से दी गई वस्तुओं के समूहों को वर्गीकृत करना
इसके अन्तर्गत पूछे जाने वाले प्रश्नों में सर्वप्रथम कुछ वस्तुओं के समूह दिए जाते हैं तथा इनके नीचे कुछ आरेख दिए होते हैं। प्रतियोगियों को प्रश्नानुसार इन आरेखों के माध्यम से उस आरेख को ज्ञात करना होता है, जो कि प्रश्न में दी गई वस्तुओं के समूह को पूर्ण एवं सही तौर पर वर्गीकृत करते हैं या उनके बीच के सम्बन्ध को निरूपित करते हैं।

इस प्रकार के प्रश्नों का उद्देश्य अभ्यर्थियों से निश्चित वर्गों को समझने तथा उसके चित्रात्मक व्याख्या करने की क्षमता की जाँच करना होता है। अभ्यर्थी को सामान्यतया यह निर्णय करना होता है कि दिया गया तथ्य सेट या उपसेट के आकार से सम्बन्धित है अथवा वह किसी अन्य सेट से सम्बन्धित होगा। तथ्य समुच्चय अथवा उपसमुच्चय से भी सम्बन्धित हो सकता है। यद्यपि प्रश्नों में सेट थ्योरी की भाषा और चिहों का प्रयोग नहीं होता है

अब नीचे दिए गए सम्बन्धों का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें।

(a) दिया गया आरेख यह दर्शाता है कि एक वर्ग दूसरे में पूर्णरूपेण समाहित है लेकिन मिला-जुला नहीं है।

(b) दिया गया आरेख यह दर्शाता है कि कोई भी वर्ग एक दूसरे में पूरी तरह समाहित नहीं है लेकिन दोनों में कुछ समान सदस्य हैं।

(c) दिया गया आरेख यह दर्शाता है कि कोई सदस्य समान नहीं है।

 

संख्याओं व अक्षरों के माध्यम से किसी विशेष वर्ग के अन्तर्गत आने वाली वस्तुओं अथवा उसकी संख्या ज्ञात करना इसके अन्तर्गत पूछे जाने वाले प्रश्नों में एक-दूसरे से संयुक्त कुछ आरेख दिए जाते हैं, जिनके अन्दर विभिन्न स्थानों पर भिन्न-भिन्न संख्याओं अथवा अक्षरों को निरूपित किया गया होता है। प्रत्येक आरेख अलग-अलग वर्ग के द्योतक होते हैं। अभ्यर्थियों को उन्हीं आरेख या उसके अन्दर दी गई संख्याओं के माध्यम से किसी विशेष वर्ग में आने वाली वस्तुओं की संख्या अथवा वस्तुओं को प्रश्नानुसार ज्ञात करना होता है। इस पद्धति का प्रयोग अन्तरों तथा तत्वों के आधार पर होता है। यह भिन्न कार्यकारी नियमों द्वारा संचालित होते हैं। तत्वों का यह पृथक सेट तभी दिया जाता है जब यह खास कार्यकारी नियमों से सम्बन्धित हो या दो से अधिक ऐसे पृथक सेट के आधार पर कोई नया सेट स्थापित करना हो, उनका Union तथा Intersection दो प्रकार से होता है। यदि दो सेट P तथा Q हो तो P Union Q का अर्थ है कि P तथा Q के सारे तत्व उस सेट में सम्मिलित होंगे जबकि P Intersection Q के सेट में केवल वही शामिल रहेगे जो P तथा Q में समान (Common) होंगे। जब कोई सूचना सेट के रूप में प्रस्तुत की जाती है तभी Data Presentation की प्रक्रिया चालू होती है। एक सेट तत्वों का संग्रह है, जो समान कार्यकारी नियमों द्वारा संचालित होता है। उदाहरण के तौर पर टेनिस खिलाड़ियों का सेट फुटबॉल खिलाड़ियों के सेट से भिन्न है।
अब इसके अन्तर्गत पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रारूप एवं उपरोक्त तथ्यों के स्पष्टीकरण हेतु नीचे दिए गए प्रमुख उदाहरणों का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें।

 

प्रकार 1

उदाहरण 1. नीचे दिए गए वेन आरेखों में से कौन-सा वेन आरेख दिए गए तीन विद्यार्थियों के बीच के सम्बन्ध को सही रूप से निरूपित करता है?

हल : (a) कुछ विद्यार्थी क्रिकेट के खिलाड़ी एवं टेनिस के प्रशंसक हो सकते हैं। कुछ क्रिकेट के खिलाड़ी, विद्यार्थी एवं टेनिस के प्रशंसक हो सकते हैं। कुछ टेनिस के प्रशंसक, क्रिकेट के खिलाड़ी एवं विद्यार्थी भी हो सकते हैं। अत: विकल्प (a) में दिया गया आरेख उपयुक्त है।

 

→ निर्देश (उदहारण 2-5 ): नीचे दिए गए प्रत्येक प्रश्न में तीन प्रकार की वस्तुओं के समूह दिए गए हैं। आपको नीचे दिए गए चार क्रमांकिक आरेखों में से उस एक आरेख को ज्ञात करना है , जो कि प्रश्न में दिए गए तीनों वर्गों के समूह के सम्बन्ध को सही रूप से निरूपित करता है ।

2. विज्ञान, भौतिकी, रसायन
3. डॉक्टर, पुरुष, कलाकार
4. जीव, मनुष्य, ग्रह
5. सोना, गहना, चाँदी

हल : 2. (a) चूँकि भौतिकी और रसायन दोनों अलग-अलग विषय हैं लेकिन दोनों विज्ञान के अन्तर्गत आते हैं।

3. (c) कुछ पुरुष कलाकार हो सकते हैं और कुछ पुरुष डॉक्टर हो सकते हैं, कुछ कलाकार डॉक्टर हो सकते हैं तथा कुछ डॉक्टर कलाकार हो सकते हैं।

4. (b) मनुष्य एक जीव है, जबकि ग्रह इन दोनों से अलग सौरमण्डल का एक सदस्य है।

5. (d) गहना सोना, चाँदी दोनों का होता है, कुछ गहने अन्य धातु के भी होते हैं।

 

प्रकार 2

उदाहरण : यदि ‘वृत्त’, लम्बे व्यक्तियों को, ‘त्रिभुज’ सैनिकों को एवं ‘वर्ग’ सशक्त व्यक्तियों को निरूपित करता है, तो निम्नांकित आरेख के अन्दर दी गई संख्याओं में से कौन-सी संख्या केवल ‘सशक्त सैनिकों’ को निरूपित करेगी ?

हल : (c) वृत्त’ लम्बे व्यक्तियों को, ‘त्रिभुज’ सैनिकों को तथा ‘वर्ग’ सशक्त व्यक्तियों को निरूपित करता है जबकि हमें उस संख्या को ज्ञात करना है जो कि सशक्त सैनिक अर्थात् सशक्त एवं सैनिकों को निरूपित करता है। अत: हम दिए गए आरेख में हम उस संख्या को ज्ञात करेंगे जो कि वर्ग एवं त्रिभुज में समान हो। यहाँ हम पाते हैं कि ऐसी संख्या केवल 6 है जोकि वर्ग एवं त्रिभुज दोनों में समान है। अत: संख्या ‘6″ सशक्त सेनिकों को निरूपित करेगी।

 

प्रकार 3

उदाहरण : नीचे दिए गए आरेख में एक-दूसरे को विच्छेदित करते हुए आपस में संयुक्त त्रिभुज, वर्ग और वृत्त को दर्शाया गया है, जो कि क्रमश: रहे हैं। निम्नांकित आरेख में अंकित A से Gक्षेत्र में से कौन-सा अंकित क्षेत्र ऐसे व्यक्तियों को निरूपित करता है, जोकि ‘शहरी और शिक्षित हैं लेकिन कठोर परिश्रमी नहीं हैं?’
दिए गए विकल्प से उस क्षेत्र को ज्ञात करें।

हल : (c) यहाँ ऐसे व्यक्तियों को ज्ञात करना है जोकि शहरी और शिक्षित हों लेकिन कठिन परिश्रमी नहीं हों यानि हमें ऐसे व्यक्ति को ज्ञात करना है जोकि केवल शहरी और शिक्षित है चूँकि आरेख में ‘त्रिभुज’ से शहरी को तथा ‘वृत्त’ से शिक्षित व्यक्ति को निरूपित किया गया है इसलिए शहरी एवं शिक्षित व्यक्ति को ज्ञात करने के लिए हम दिए गए आरेख में त्रिभुज तथा वृत्त के अन्दर ध्यान देंगे कि इन दोनों आरेखों के अन्दर वह कौन-सा अक्षर है, जो इन दोनों में समान है, यहाँ हम देख रहे हैं कि ऐसा अक्षर केवल D है जो त्रिभुज एवं वृत्त में समान है। अत: क्षेत्र “D” शहरी एवं शिक्षित व्यक्ति को निरूपित करता है।

 

प्रकार 4

→ निर्देश (उदहारण 1-4 ) निम्नांकित आरेख में ‘वृत्त’ से बेरोजगारों को, वर्ग से परिश्रमी को, त्रिभुज से ग्रामीण को अथवा आयत से बुद्धिमान व्यक्तियों को निरूपित किया गया है । निम्न आरेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करके इन पर आधारित प्रश्नों का उत्तर दीजिये ।

1. ऐसे व्यक्ति जोकि बेरोजगार, परिश्रमी तथा बुद्धिमान हैं लेकिन ग्रामीण नहीं हैं इन्हें आरेख में किस क्षेत्र में निरूपित किया गया है?
(a) 10   (b) 11   (c) 12   (d) 9

2. ऐसे व्यक्ति जो ग्रामीण नहीं हैं तथा न ही बेरोजगार और न ही बुद्धिमान हैं लेकिन परिश्रमी हैं, आरेख के किस क्षेत्र में इन्हें निरूपित किया गया है?
(a) 11   (b) 10   (c) 12   (d) 8

3. ऐसे ग्रामीण, जो कि परिश्रमी तथा बेरोजगार हैं लेकिन बुद्धिमान नहीं हैं, आरेख के किस क्षेत्र में इन्हें निरूपित किया गया है?
(a) 4   (b) 3   (c) 1   (d) 2

4. ऐसे ग्रामीण परिश्रमी व्यक्ति जो कि न तो बेरोजगार हैं और न ही बुद्धिमान हैं, इन्हें आरेख के किस क्षेत्र में निरूपित किया गया है?
(a) 3   (b) 2   (c) 14   (d) किसी भी क्षेत्र में नहीं

हल :
1. (d) यहाँ हमें ऐसे क्षेत्र को ज्ञात करना है, जो कि बेरोजगार, परिश्रमी तथा बुद्धिमान व्यक्ति को निरूपित करता हो। अत: हम देखेंगे कि वह कौन-सा अंकित क्षेत्र है जो केवल ‘वृत्त’,’वर्ग’ एवं ‘आयत’ में ही आता हो। यहाँ हम देख रहे हैं कि ऐसा अंकित क्षेत्र केवल ‘9″ है जो कि ‘वृत’,’वर्ग’ एवं आयत के अन्तर्गत आता है। अत: बेरोजगार, परिश्रमी तथा बुद्धिमान व्यक्ति को क्षेत्र ‘9″ के द्वारा निरूपित किया गया है।

2. (c) यहाँ हमें केवल उस क्षेत्र को ज्ञात करना है जो कि केवल परिश्रमी व्यक्ति को निरूपित करता है। आरेख में परिश्रमी व्यक्ति को ‘वर्ग’ से निरूपित किया गया है। अत: हम देखेंगे कि आरेख में ऐसा कौन-सा अंकित क्षेत्र है जो कि केवल वर्ग के अन्तर्गत आते हैं। यहाँ हम देख रहे हैं कि आरेख में ऐसा क्षेत्र केवल ’12” है जोकि वर्ग के अन्तर्गत आता है। अत: परिश्रमी व्यक्ति को अंकित क्षेत्र ’12” से निरूपित किया गया है।

3. (d) यहाँ हमें उस क्षेत्र को ज्ञात करना है जो ग्रामीण, परिश्रमी तथा बेरोजगार है लेकिन बुद्धिमान नहीं है, अर्थात् हम ऐसे क्षेत्र को ज्ञात करें जो कि ग्रामीण, परिश्रमी तथा बेरोजगार इन तीनों क्षेत्रों को निरूपित करता है। चूँकि आरेख में ‘ग्रामीण’ को त्रिभुज से, ‘परिश्रमी’ को वर्ग से तथा ‘बेरोजगार’ को वृत्त से निरूपित किया गया है, इसलिए आरेख में हम ऐसे क्षेत्र को निरूपित करने वाली ऐसी संख्या ज्ञात करेंगे जो त्रिभुज, वर्ग तथा वृत्त में समान हो, यहाँ हम पाते हैं कि ऐसी संख्या केवल ‘2’ है। अत: आरेख में क्षेत्र ‘2’ ग्रामीण, परिश्रमी तथा बेरोजगार व्यक्तियों के समूह को निरूपित करता है।

4. (d) यहाँ हमें ऐसे ग्रमीण परिश्रमी व्यक्ति जो कि न तो बेरोजगार हैं, और न ही
बुद्धिमान हैं, को प्रदर्शित करने वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है। अत: हम ऐसे क्षेत्र को ज्ञात करेंगे जो कि केवल ‘ग्रामीण’ एवं ‘परिश्रमी’ व्यक्तियों को निरूपित करता है। चूँकि आरेख में ‘त्रिभुज’ से ग्रामीण को तथा ‘वर्ग’ से परिश्रमी को निरूपित किया गया है। अत: हम आरेख में उस अंकित क्षेत्र को ज्ञात करेंगे, जो कि केवल त्रिभुज एवं वर्ग में समान हो। यहाँ ध्यान करने पर हम पाते हैं कि ऐसा कोई भी अंकित क्षेत्र नहीं है जो कि त्रिभुज एवं वर्ग में समान हो। अत: केवल ग्रामीण एवं परिश्रमी व्यक्ति को एक साथ किसी भी क्षेत्र से निरूपित नहीं किया गया है।

→ नोट : उपरोक्त प्रश्नों को निम्न चार्ट के आधार पर भी हल कर सकते हैं , जिसके तहत समान संख्या को शामिल करना है तथा जिसे शामिल नहीं करना है,उसके तहत आने वाली संख्या को शामिल नहीं करेंगे ।
वृत्त-बेरोजगार-1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 15
आयत-बुद्धिमान-1, 8, 9, 10, 11, 14
वर्ग-परिश्रमी-1, 2, 3, 9, 11, 12, 14
त्रिभुज-ग्रामीण-1, 2, 5, 6, 14

 

उदाहरण 5. नीचे दिए गए आरेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करके यह ज्ञात करें कि, वह युवक जो नौकरी करता है लेकिन शिक्षित नहीं है निम्नलिखित में से कौन है?

(a) 3 या 7 या 6    (b) 3 या 4    (c) 6 या 4    (d) 2 या 5 या 7

हल : (a) प्रश्न से, हमें ऐसे युवक को ज्ञात करना है जो कि नैौकरी करता है, लेकिन शिक्षित नहीं है। अत: दिए गए आरेख में हम ऐसी संख्या को देखेंगे जो कि केवल दो आरेखों में समान हो। यहाँ ध्यान देने पर हम पाते हैं कि ऐसी संख्या केवल’3′, ‘7″ एवं ‘6″ है जो कि दो आरेखों में समान हैं अत: 3 या ‘7″ या ‘6 ऐसे युवक हैं जो कि नौकरी करते हैं लेकिन शिक्षित नहीं हैं।

 

प्रकार 5

→ निर्देश ( उदहारण 1 – 2 ) दिए गए प्रश्न में बड़ा त्रिभुज राजनीतिज्ञ , छोटा त्रिभुज शिक्षक , वृत्त स्नातक, चतुर्भुज पार्लियामेंट के सदस्य को दर्शाता है , इसके आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिये ।

1. निम्नलिखित में से कौन-से राजनीतिज्ञ स्नातक तो हैं लेकिन पार्लियामेन्ट के सदस्य नहीं हैं?
(a) IV, IX    (b) I, VIII, IX    (c) IX, II    (d) II, III

2. निम्नलिखित में से कौन-से राजनीतिज्ञ, न ही शिक्षक हैं और न ही स्नातक?
(a) III, IV   (b) IX, VIII     (c) IX, II    (d) II, III

हल :

1.(d) चूँकि यहाँ हमें ऐसे राजनीतिज्ञ जो स्नातक तो हैं परन्तु पार्लियामेन्ट के सदस्य नहीं हैं, को प्रदर्शित करने वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है। अत: हमें पार्लियामेन्ट के सदस्य वाले क्षेत्र को छोड़कर राजनीतिज्ञ तथा स्नातक वाले क्षेत्र को निरूपित करने वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है। प्रश्न में यह नहीं कहा गया है कि राजनीतिज्ञ शिक्षक है या नहीं है इसलिए शिक्षक को सम्बोधित करने वाले छोटे त्रिभुज के क्षेत्र में राजनीतिज्ञ स्नातक आते है तो भी वह मान्य होगा किन्तु वह क्षेत्र वर्ग अर्थात् पार्लियामेन्ट के क्षेत्र के नहीं होने चाहिए, इस प्रकार, हम पाते हैं कि केवल II तथा | ही ऐसा क्षेत्र है जो यह दर्शाता है कि राजनीतिज्ञ स्नातक हैं किन्तु पार्लियामेन्ट के सदस्य नहीं हैं।

2. (b) चूँकि यहाँ हमें ऐसे राजनीतिज्ञ, जो न तो शिक्षक है और न ही स्नातक हैं, को प्रदर्शित करने वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है। अत: हमें शिक्षक और स्नातक को छोड़कर राजनीतिज्ञ वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है, उपरेाक्त आरेख में शिक्षक को ‘छोटे त्रिभुज’ से, स्नातक को ‘वृत्त’ से एवं राजनीतिज्ञ को ‘बड़े त्रिभुज’ से निरूपित किया गया है। लेकिन हमें ‘छोटे त्रिभुज’ एवं ‘वृत्त’ को छोड़कर बड़े त्रिभुज वाले क्षेत्र को ज्ञात करना है। इस प्रकार हम पाते हैं कि ऐसे क्षेत्र केवल IX एवं Vill हैं। अत: IX एवं VIII ऐसे क्षेत्र हैं जो ऐसे राजनीतिज्ञ को सम्बोधित करते हैं जो न तो शिक्षक एवं न ही स्नातक है।

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