Success Khan Logo

वर्ग तथा घन

Objective type Questions, Notes for Govt Exams, current affairs, general knowledge, hindi objective questions, English objective questions, Mathematics objective Questions, Reasoning Objective Questions, study material for IBPS, study material for banks, study material for SSC, study material for DSSSB, Aptitude objective type Questions, Solved Question papers, Notes, Study Material, general knowledge questions and answers, gk questions and answers, hindi questions and answers, English questions and answers , mathematics questions and answers, reasoning questions and answers, current affairs questions and answers, general knowledge questions and answers for competitive Exams, gk questions and answers for competitive Exams, hindi questions and answers for competitive Exams, English questions and answers for competitive Exams, Mathematics questions and answers for competitive Exams, reasoning questions and answers for competitive Exams, current affairs questions and answers for competitive Exams, Railway jobs, banking job, corporate jobs, government jobs, govt jobs, private jobs, CPO, PCS, RRB, CDS, UPSC,Notes, Online Tests, practice sets, questions and answers with explanation for competitive examination, entrance test, Railway, IBPS, SSC, DSSSB, PCS, Banking for hindi, english, mathematics, reasoning, gk, current affairs and many more.

Introduction :

गणितीय गणना (Mathematical Calculation) करने के दरम्यान प्रतियोगियों को अक्सर भिन्न-भिन्न संख्याओं के वर्ग तथा घन निकालने की आवश्यकता पड़ती है. अत: समय की बचत हेतु प्रतियोगियों के लिए short-cut methods or Tricks का अधिकाधिक अभ्यास बहुत आवश्यक है | इसलिए 50 से बड़ी संख्याओं का वर्ग तथा 20 से बड़ी संख्याओं का घन निकालने के लिए बेशक Short-cut methods का प्रयोग उचित है लेकिन 50 तक की संख्याओं का वर्ग तथा 20 तक की संख्याओं के घन को पूर्णत: याद कर लेना ही अधिक लामप्रद होगा.

विभिन्न संख्याओं के वर्ग तथा घन निकालने के निम्नलिखित दो विधियाँ है |

(i) सामान्य विधि (General Rate)– इस विधि द्वारा किसी भी संख्या का वर्ग तथा घन निकाला जा सकता है.
(ii) विशिष्ट विधि (special Rule)– इस विधि द्वारा किसी खास शर्त का पालन करने वाली किसी संख्या का वर्ग या घन निकाला जाता है.

 


(A) वर्ग निकालना (TO FIND OUT SQUARE)

साधारण विधि (GENERAL METHOD)

TYPE-1 . To the Square of two-digit numbers .

Trick → यदि AB दो अंको की संख्या हो तो

(AB)2 = A2 /2AB / B2

 

Example : (64)2  = ?

Solution: (64)2 = 62 /2 x 6×4/42 = 36 48,6 = 4096 Ans.

Note: यहाँ 1 तथा 4 (From the right) क्रमश: 16 तथा 48 से प्राप्त हालिस (Carry) के अंक हैं.

 

TYPE-2 To find out the square of three-digit numbers

TRICK → यदि ‘A B C’ तीन अंकों की कोई संख्या हो तो उसे निम्न प्रकार से हल किया जा सकता है –

(ABC)2  = A2 /2.A.B/2.A.C + B2 /2.B.C/ C2

Example: (346)2  = ?

Solution: (346)2 =32 /2×3×4/2×3×6+42 /2×4×6/62

=9 24 52 436 = 119716 Ans.

Note: are 3, 4, 5 तथा 2 (From the Right) क्रमश: 36, 48, 52 तथा 24 से प्राप्त हासिल (Carry) के अंक हैं.

 

Exercise इन्हें (Tricks) द्वारा हल करें-

1. (437)2  = ?
2. (543)2  = ?
3. (724)2  = ?
4. (836)2  = ?
5. (358)2  =?

 

TYPE-3 to find out the square of four-digit numbers:
Trick → यदि ‘AB C D’ चार अंकों की कोई संख्या हो तो उसे निम्न प्रकार से हल किया जा सकता है

(ABCD)2  = ?

1st step. = D2
2nd step = 2.C.D
3rd step = 2.B.D + C2
4th step. = 2.A.D + 2.B.C
5th step – 2.A.C+B2
6th step = 2.A.B
Last Step = A2

 

Example: (6324)2  = ?

Solution:
1st step. = 42  = 16 ⇒  16
2nd step = (2 × 2 × 4) = 16 ⇒  16
3rd step = (2 × 3 × 4)+22  = 28 ⇒  28
4th step =(2 × 6 × 4)+(2 × 3 × 2) = 60 ⇒  60
5th step = (2 × 6 × 2) +32  = 33 ⇒  33
6th step = (2 × 6 × 3) = 36 ⇒  36
last step = 62  = 36

∴ ? = 36 33602116=39992976 Ans.

Note: यहाँ  1, 1, 2, 6, 3 तथा 3 (from the right) क्रमश: 16, 16, 28, 60, 33 तथा 36 से प्राप्त हासिल के अंक हैं

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें-

1. (4567)2  = ?
2. (8163)2  = ?
3. (7435)2  = ?
4. (3462)2  = ?
5. (7246)2  = ?

 

TYPE-4. To find out the square of five-digit numbers

TRICK  → यदि ‘A B C D E’ पाँच अंकों की कोई संख्या हो तो उसे निम्न प्रकार से हल किया जा सकता है

(ABCDE)2  = ?
1st step. = E2
2nd step. = (2 × D × E)
3rd step. = (2 × C × E) + D2
4th step. = (2 × B × E) + (2 × C × D)
5th step. = (2 × A × E)+(2 × B × D)+C2
6th step. = (2 × A × D) + (2 × B × C)
7th step. = (2 × A × C)+B2
8th step. = (2 × A × B)
last step. = A2

 

Example (32457)2  = ?

Solution:
1st step. = 72  = 49 ⇒  49
2nd step. = (2 × 5 × 7) = 70 ⇒  70
3rd step. = (2 × 4 × 7) + 52  = 81 ⇒  81
4th step. =(2 × 2 × 7)+(2 × 4 × 5) = 68 ⇒  68
5th step. =(2 × 3 × 7)+(2 × 2 × 5)+42 =78 ⇒  78
6th step. = (2 × 3 × 5) + (2 × 2 × 4) = 46 ⇒  46
7th step. = (2 × 3 × 4) = 22  = 28 ⇒  28
8th step. = (2 × 3 × 2) = 12 ⇒  12
Last step. = 32  = 9

∴ ? = 9 12476870 49 = 953456849 Ans.

Note: यहाँ  4, 7, 8, 6, 7, 4, 2 तथा 1 (from the right) क्रमश: 49, 70, 81, 68, 78, 46, 28 तथा 12 से प्राप्त हासिल के अंक हैं

 

विशिष्ट नियम (SPECIAL RULE)

किसी एक ही अंक की पुनरावृति से बनी किसी संख्या का वर्ग निकालना (To find out the square of a repeated-digit number)

TYPE-1 to find out the square of 1 – repeated number.

TRICK  → अंक 1 के पुनरावृत्ति से बनी संख्याओं का वर्ग निकालने के लिए उन संख्याओं में अंक ‘1’ की जितनी बार उपस्थिति हो उतना तक दाहीने ओर से बाई ओर बढ़ते क्रम में 1, 2, 3. तथा घटते हुए क्रम में . 2, 1 लिखकर दी गई संख्याओं का वर्ग प्राप्त किया जाता है.

Example 1. (111)2  = 12321 = 12321. Ans.
Example 2. (1111)2 = 1234321 = 1234321 Ans.
Example 3. (11111)2 = 123454321 = 123454321 Ans.

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें-

1. (11)2 = ?
2. (111111)2  = ?
3. (1111111)2  = ?
4. (1111.111)2  = ?
5. (111111.11)2  = ?

 

TYPE-2. Find out the square of 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 or 9-repeated numbers.

TRICK → यदि 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, या 9 के पुनरावृति से बनी संख्याओं का वर्ग निकालना हो तो, उत्त संख्या में उत्त अंकों (Digits) की जितनी बार उपस्थिति होती है उतना तक दाहिने ओर से बायीं ओर बढ़ते क्रम में  3,2,1 तथा घटते क्रम में  1,2….. लिखकर repeated digit के वर्ग में गुणा करते हैं तथा गुणा करने के दरम्यान दायीं ओर की संख्या से प्राप्त हासिल को उसके बायीं ओर के अंक में जोड़ देते हैं. इस प्रकार प्राप्त गुणनफल उत्त संख्या का वर्ग होता है. अत: उत्त repeated digit का वर्ग

Example 1. (222)2 =2× (12321) = 4 × (12321) = 49284 Ans.
Example 2. (4444)2  = 42 × (1234321) = 16  ×  (1234321) = 19749136 Ans.
Example 3. (777)2  =72 × (12321) = 49 × (12321) = 603729 Ans.

 

 

Special Tricks in case of 3, 6 or 9-repeated digit numbers

TRICK → ‘O Z E N’ की सहायता से अंक 3 के पुनरावृति से बनी संख्याओं का वर्ग निकाला जाता है. यहाँ Z (0) तथा N (9) हमेशा constant रहते हैं अर्थात् एक-एक बार लिखा जाता है और O(1) तथा E (8) की संख्या, repeated पिक्षक उतसंख्या में जानी बार उपिस्थित होता है ठीक उससे एक कम होती है

Example 1. (3333)2  = 11108889 Ans.
Note: यहाँ 3333 में चार अंक हैं. इसलिए 1 तथा 8 को तीन-तीन बार लिखा गया है.

Example 2. (333.33)2 = 111108.8889 Ans.

 

 

TRICK → ‘FO T FI S’ की सहायता से अंक 6 के पुनरावृत्ति से बनी संख्याओं का वर्ग निकाला जाता है. यहाँ T (3) तथा S (6) हमेशा Constant रहते हैं. अर्थात् एक-एक बार लिखा जाता है और FO (4) तथा F1 (5) की is T, repeated digit ‘6’ की उत्त संख्या में जितनी बार उपस्थिति होती है ठीक उससे एक कम होती है.

Example : (6666)2  = 44435556 Ans.

Νοte: यहाँ 6666 में चार अंक है. इसलिए 4 तथा 6 को तीन-तीन  बार लिखा गया है.

 

 

TRICK N E Z O‘ की सहायता से अंक 9 के पुनरावृति से बनी संख्या का वर्ग हमेशा constant रहते हैं अर्थात् एक-एक बार लिखा जाता है और N (9) तथा Z (0) की संख्या, repeated digit 9 की संख्या की उत्त संख्या में जितनी बार उपस्थिति होती है ठीक उससे एक कम होती है.

Example 1. (999)2  = 998001. Ans.

Note: यहाँ 999 में तीन अंक है. इसलिए 9 तथा 0 को दो-दो बार लिखा गया है

Example 2. (999.99)2  = 999980.0001 Ans.

 

 

TYPE -3
To find out the square of numbers in the neighbourhood of 10, 100, 1000 and 10000

TRICK → 10, 100, 1,000 तथा 10,000 के करीबी संख्याओं का वर्ग निकालने में यदि वर्ग निकाली जानेवाली संख्या इन संख्याओं में से किसी एक से जितनी छोटी होगी उतना वर्ग निकाली जानेवाली संख्याओं में से घटाकर बायीं ओर लिखा जाता है. तथा घटाई जानेवाली संख्या का वर्ग करके दाहीने ओर लिखा जाता है.

Example 1. (8)2  = 8 – 2/22 = 64 Ans.

Example 2. (114)2  = 114 + 14/(14)2  = 128196 = 12996 Ans.

Note: यदि 100 के करीबी संख्याओं का वर्ग निकालना हो तो घटायी जाने वाली संख्या को वर्ग करके उसके दो अंको को दाहीने ओर रखा जाता है.
Example 3. (978)2  = 978 — 22/(22)2  = 956/484 = 956484 Ans.

Example 4. (10032)2  = 10032 + 32/322  = 10064/1024 = 100641024 Ans.

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें-

1. (87)2  = ?
2. (124)2  = ?
3. (972)2  = ?
4. (1026)2 = ?
5. (9982)2 = ?
6. (9974)2 = ?
7. (10023)2 = ?
8. (10035)2 = ?

 

शीघ्र हल करने के लिए इन संख्याओं के वर्ग को याद रखें

 

 

(B) घन निकालना ( To find out the cube )

साधारण विधि (General Method)

दो अंकों की संख्या का घन निकालना (To find out the cube of two-digit numbers)

TRICK  दो अंकों की किसी संख्या का घन निम्न प्रकार से ज्ञात किया जाता है
(i) सबसे पहले दो अंकों की संख्या के दहाई के अंक का घन करके पहले पद के रुप में बायीं ओर रखा जाता है.
(ii) दहाई तथा इकाई के अंकों में अनुपात बनाया जाता है.
(iii) दहाई के अनुपात से प्रथम पद में भाग देकर प्राप्त भागफल को इकाई के अनुपात से गुणा करके प्राप्त संख्या को दूसरे पद के रुप में पहले पद के दायीं ओर रखा जाता है. इसी प्रकार की क्रिया द्वारा तीसरा तथा चौथा पद भी लिखा जाता है.
(iv) दूसरे तथा तीसरे पदों को दुगुणा करके उनके नीचे लिख लिया जाता है.
(v) दाहीने ओर से एक-एक अंक उतारा जाता है तथा शेष संख्या को हासिल के रुप में अपने बायीं ओर जोड़ दिया जाता है.

 

Example 1. (35)3  =  ?

Solution:
1st step. =33  = 27
2nd step. = 3 : 5
3rd step. = 27 × 53 = 45
4th step. = 45 × 53 =  75
5th step. =75 × 53 = 125
last step. = (45 × 2) = 90 and (75 × 2) = 150

 

Example 2. (93)3  =  ?

Solution:
1st step. =93  = 729
2nd step. = 9 : 3 = 3 : 1
3rd step. – 729 × 13 = 243
4th step. = 243 × 13 =  81
5th step. =81 × 13 = 27
last step. = (243 × 2) = 486 and (81 × 2) = 162

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. (16)3  = ?
2. (24)3  =?
3. (48)3  = ?
4. (56)3 = ?
5. (83)3 =?

 

विशिष्ट नियम (Special Rules)

To find out the cube of 1, 2, ……9 repeated numbers.

TRICK किसी पुनरावृत्ति वाले संख्या का घन उस संख्या के वर्ग में उस संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है.

 

Example 1. (111)3  = (111)2×111 = 12321 × 111

= 1/(1 + 2)/(1 + 2 + 3)/(2 + 3 + 2)/ (3+2 + 1)/(2+ 1)/1 = 1367631 Ans.

 

Example 2. (222)3 =(222)2×222 = 49284×222

= 4×2/(4+9)×2/(4+9+2)×2/ (9+2+8)×2/(2+8+4)×2/(8+4)×2/4×2

= 826303828248 = 10941048 Ans.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. (22)3  = ?
2. (333)3  =?
3. (444)3  = ?
4. (55)3 = ?
5. (66)3 =?
6. (77)3  = ?
7. (88)3  = ?
8. (99)3  = ?
9. (1111)3  = ?

 

शीघ्र हल के लिए इन संख्याओं के घन को याद रखें

 

Objective type Questions, Notes for Govt Exams, current affairs, general knowledge, hindi objective questions, English objective questions, Mathematics objective Questions, Reasoning Objective Questions, study material for IBPS, study material for banks, study material for SSC, study material for DSSSB, Aptitude objective type Questions, Solved Question papers, Notes, Study Material, general knowledge questions and answers, gk questions and answers, hindi questions and answers, English questions and answers , mathematics questions and answers, reasoning questions and answers, current affairs questions and answers, general knowledge questions and answers for competitive Exams, gk questions and answers for competitive Exams, hindi questions and answers for competitive Exams, English questions and answers for competitive Exams, Mathematics questions and answers for competitive Exams, reasoning questions and answers for competitive Exams, current affairs questions and answers for competitive Exams, Railway jobs, banking job, corporate jobs, government jobs, govt jobs, private jobs, CPO, PCS, RRB, CDS, UPSC,Notes, Online Tests, practice sets, questions and answers with explanation for competitive examination, entrance test, Railway, IBPS, SSC, DSSSB, PCS, Banking for hindi, english, mathematics, reasoning, gk, current affairs and many more.





Average Practice Set – Mathematics
READ MORE

Average Practice Set – Mathematics

272

Average Practice Set – Mathematics
READ MORE

Average Practice Set – Mathematics

63

Average Practice Set – Mathematics
READ MORE

Average Practice Set – Mathematics

42

Average Practice Set – Mathematics
READ MORE

Average Practice Set – Mathematics

75

Average Practice Set – Mathematics
READ MORE

Average Practice Set – Mathematics

57

Number System Practice Set – Mathematics
READ MORE

Number System Practice Set – Mathematics

85

Search


Explore