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भाग

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Introduction: यदि भाज्य, भाजक, भागफल तथा शेषफल क्रमशः a, b, q तथा r हो तो a = b × q + r

Example: किसी संख्या में 96 से भाग देने पर 47 शेष बचता है. यदि उसी संख्या में 32 से भाग दिया जाए तो शेष क्या बचेगा?
Solution: a = 96 × q + 47 =3q × 32 + 1 × 32 + 15 = (3q+ 1) × 32 + 15

अत: उसी भाज्य में 32 से भाग देने पर 15 शेष बचेगा.

Note: यदि दूसरा भाजक पहले भाजक का एक गुणनखण्ड हो तो दूसरा शेषफल ज्ञात करने के लिए पहले शेषफल में दूसरे भाजक से भाग देकर शेषफल ज्ञात किया जाता है, लेकिन यदि पहला दूसरे भाजक से छोटा हो तो दूसरा शेषफल भी वही (पहला शेषफल) होता है.

 


Section – A

भाज्यता की जांच (Test of Divisibility)

* 2 से विभाजित होने की शर्त-यदि किसी संख्या के इकाई का अंक शून्य (0) हो या 2 से विभाज्य हो तो वह संख्या 2 से विभाज्य होगी.
जैसे-7530, 8436, 4328 इत्यादि.

 

* 3 से विभाजित होने की शर्त-यदि किसी संख्या में उपस्थित अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो वह संख्या 3 से पूर्णत: विभाजित हो जाएगी.
जैसे-747, 2343, 6273 इत्यादि.

∵  7 + 4 + 7 = 12 जो ‘3’ से विभाज्य है. इसलिए 747 3 से पूर्णत: विभाजित होने वाली संख्या है. इसी तरह अन्य संख्याओं के अंकों का योग भी 3′ से विभाज्य है. अत: उत्त सभी संख्याएँ अंक ‘3’ से पूर्णत: विभाजित होने वाली संख्याएँ हैं.

 

*4 से विभाजित होने की शर्त– यदि किसी संख्या के अन्तिम दो अंक (दहाई तथा इकाई का अंक) ’00’ हो या 4 से विभाज्य हो तो वह संख्या 4 से विभाजित हो जाएँगी
जैसे-74300, 15712, 4308 इत्यादि.
00, 12 तथा 08 ‘4’ से विभाज्य हैं. इसलिए उपरोक्त संख्याएँ 4 से विभाजित हो जाएँगी.

 

* 5 से विभाजित होने की शर्त- यदि किसी संख्या के इकाई का अंक शून्य (0) या 5 हो तो वह संख्या 5 से विभाजित हो जाएगी. जैसे- 930, 5465, 8745 इत्यादि.

 

* 6 यदि किसी सम संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो वह, संख्या 6 से भी पूर्णत: विभाजित हो जाएगी. जैसे-3564, 1572, 4248 इत्यादि.

 

* 3, 7, 11, 13, 21 तथा 37 से विभाजित होने की शर्त –

(i) किसी अंक या संख्या के छ: बार की पुनरावृत्ति से बनी छोटी से छोटी संख्या 3, 7, 11, 13, 21 तथा 37 में से किसी एक संख्या से विभाजित हो जाएगी. जैसे- 222222, 444444, 323232323232 इत्यादि.
Note : यदि किसी अंक की पुनरावृत्ति 6 के गुणज में हो जैसे-6 बार, 12 बार, 18 बार या 24 बार हो तो भी वे संख्याएँ 3, 7, 11, 13, 21 या 37 में से किसी एक संख्या से पूर्णत: विभाजित हो जाएँगी.

(ii) यदि चार अंकों की संख्या में चौथे अंक को पहले अंक में से घटाकर शेष को शेष संख्या के पहले रखने पर 7 से विभाज्य हो तो वह मूल संख्या 7 से विभाजित हो जाएगी. जैसे- 6545, अंक 7 से विभाज्य है क्योंकि (6 – 5) 54 अर्थात् 154, अंक 7 से विभाज्य है.

(iii) पाँच अंकों की किसी संख्या के पाँचवें अंक को शुरु के दो अंकों से बनी संख्या में से घटाने पर प्राप्त संख्या यदि 7 से विभाज्य हो तो वह संख्या 7 विभाजित हो जाएगी. -संख्या 23632, अंक 7 से विभाज्य है क्योंकि (23 -2) 63 अर्थात् 2163 अंक 7 से विभाज्य है.

(iv) यदि किसी संख्या को तीन-तीन के समूह (Group) में बाँट दिया जाए और विषम स्थानों (odd places) पर स्थित समूहों का योग तथा सम स्थानों (even places) पर स्थित समूहों का योग का अन्तर यदि शून्य (0) हो या 7 से विभाज्य हो तो वह संख्या 7 से विभाजित हो जाएगी. जैसे-266133 को तीन-तीन अंकों के दो समूहों में बाँटने पर क्रमश: विषम स्थान पर का समूह 266 तथा सम स्थान पर का समूह 133 है. चूंकि 266 – 133 = 133, अंक 7 से विभाज्य है. इसलिए उक्त संख्या अंक 7 से विभाजित हो जाएगी.

 

* 8 से विभाजित होने की शर्त– यदि किसी संख्या के अन्तिम तीन अंक (सैकड़ा, दहाई तथा इकाई का अंक) ‘000 हो या 8 से विभाज्य हो तो बह संख्या 8 से विभाजित हो जाएगी. जैसे-347000, 67512, 954024 इत्यादि.
000, 512 तथा 024 अंक 8 से विभाज्य हैं इसलिए उपरोक्त संख्याएँ 8 से विभाज्य हैं.

 

* 9 से विभाजित होने की शर्त– यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो तो वह संख्या 9 से विभाज्य होगी.
जैसे-3458, 75438, 5432787 इत्यादि के अंकों का योग 9 से विभाज्य है. इसलिए ये संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं.

 

* 10 से विभाजित होने की शर्त– यदि किसी संख्या के इकाई का अंक शून्य (0) हो तो वह संख्या 10 से विभाज्य होगी. –

 

* 11 से विभाजित होने की शर्त– यदि किसी संख्या के विषम स्थानों पर उपस्थित अंकों का योग तथा सम स्थानों पर उपस्थित अंकों के योग का अन्तर ‘0’ हो या 11 का गुणज हो तो वह संख्या 11 से विभाजित हो जाएगी.
जैसे-54285 में विषम स्थान पर के अंक 5, 2 तथा 5 का योग 12 और सम स्थान पर के अंक 4 तथा 8 का योग 12 का अन्तर शून्य (0) है. इसलिए यह संख्या 11 से विभाज्य है.

 

* 12 से विभाज्य होने की शर्त– यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तथा उस संख्या के अन्तिम दो अंकों (दहाई तथा इकाई के अंक) से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो तो वह संख्या 12 से भी विभाज्य होगी.

जैसे- 94536, 7824, 23424 इत्यादि के अंकों का योग 3 से विभाज्य है तथा इनका अन्तिम दो अंक 4 से विभाज्य है. इसलिए ये संख्याएँ 12 से भी विभाज्य होंगी.

 

* 14 से विभाज्य होने की शर्त– यदि कोई सम संख्या 7 से विभाज्य हो तो वह संख्या 14 से भी विभाजित हो जाएगी. जैसे-444444, 666666, 36652 इत्यादि.

 

* 15 से विभाज्य होने की शर्त– यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 0 या 5 हो तथा उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो वह संख्या 15 से विभाज्य होगी. जैसे-78510, 6645, 6795 इत्यादि.

 

* 16 से विभाज्य होने की शर्त– यदि किसी संख्या के अन्तिम चार अंक ‘0000 हो या 16 से विभाज्य तो वह संख्या 16 से विभाजित हो जाएगी. जैसे-3450000, 231968, 745136 इत्यादि.

 

* 18 से विभाज्य होने की शर्त- यदि किसी सम संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो तो वह संख्या 9 से विभाजित हो जाएगी. जैसे-3582, 8874, 8658 इत्यादि.

 

Section – B

GENERAL METHOD OF DIVISION ON WHOLE

Division by a two-digit divisor:
Example 8262 ÷ 34 = ?
Solution :

1st step. सबसे पहले भाज्य के इकाई अंक ‘2’ के पहले दशमलव लगा दिया गया है.

2nd step. भाज्य के पहले पद ‘8’ जो AD का भी पहला पद है, में भाजक के दहाई अंक ‘3’ से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘2’ की भाज्य के दूसरे पद 2 के पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 22.

3rd step. भाज्य के दूसरे पद 2 से बने PD. 22 में से भागफल के पहले अंक ‘2’ तथा भाजक के इकाई अंक 4 के गुणनफल को घटाने पर प्राप्त संख्या को AD. के दूसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् (22-2×4)=14

4th step. A.D. के दूसरे पद ’14’ में भाजक के दहाई अंक ‘3’ से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘2’ को भाज्य के तीसरे पद ‘6’ के पहले रखा गया है. अर्थात् PD.=26

5th step. भाज्य के तीसरे पद ‘6’ से बने P.D. 26 में से भागफल के दूसरे अंक 4 तथा भाजक के इकाई अंक 4 के गुणनफल को घटाने पर प्राप्त संख्या को A.D. के तीसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् (26–4 × 4) = 10.

6th step. A.D. के तीसरे पद 10 में भाजक के दहाई अंक ‘3′ से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘1’ को भाज्य के चौथे अंक 2 के पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 12

7th step. भाज्य के चौथे पद 2 से बने P.D. 12 में से भागफल के तीसरे अंक 3 तथा भाजक के इकाई अंक 4 के गुणनफल को घटाने पर प्राप्त संख्या को A.D. के चौथे पद के स्थान पर रखा गया है.
अर्थात् (12-4 × 3) = 0.

Last step. A.D. के चौथे पद “0” में भाजक के दहाई अंक 3 से भाग देकर प्राप्त भागफल ‘0’ की अभीष्ट भागफल में दशमलव के बाद रखा गया है. इस प्रकार अभीष्ट भागफल = 243 Ans.

Note: * P.D. (Provisional Dividend): पहले , दूसरे तथा तीसरे शेषफल को क्रमशः भाज्य के दूसरे, तीसरे तथा चौथे अंक के पहले रखने से प्राप्त संख्या P.D. कहलाता है.
* A.D. (Actual Dividend): जिसमे भाजक के अंक से भाग देकर अभीष्ट भागफल प्राप्त किया जाता है उसे A.D. कहा जाता है.

 

Example: 10395  ÷ 45 = ?

1st Step. सबसे पहले भाज्य के अन्तिम एक अंक के पहले दशमलव लगा दिया गया है.

2nd Step. 10/4  ⇒ भागफल = 2 तथा शेषफल = 2

3rd Step. (23 – 5 × 2) = (23-10) = 13

4th step. 13/4  ⇒ भागफल =3 तथा शेषफल = 1

5th Step. (19 – 5 × 3) = (19-15) = 4

6th Step. 4/4   ⇒ भागफल = 1 तथा शेषफल = 0

7th Step. (05 – 5 × 1) = (5-5) = 0

Last Step. 0/4 = 0,
अतः अभीष्ट भागफल = 231 Ans.

 

Exercise ⇒ इन्हें मांसिक क्रिया द्वारा हल करें

1. 1701 ÷ 21 = ?
2. 108489 ÷ 43 = ?
3. 38982 ÷ 73 = ?
4. 18939 ÷ 59 = ?
5. 128094 ÷ 37 = ?

 

Division by a three-digit divisor:
Example : 218064 ÷ 413 = ?
Solution :

1st step. सबसे पहले भाज्य के दाहिने ओर से दो अंकों के बाद दशमलव लगा दिया गया है.

2nd step. भाज्य के पहले पद 21 जो A.D. का भी पहला पद है, में भाजक के सैकड़ा के अंक 4 से भाग देकर प्राप्त शेषफल को भाज्य के दूसरे पद ‘8 के पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 18.

3rd step. भाज्य के दूसरे पद ‘8’ से बने PD. ’18’ में से भागफल के पहले अंक 5 तथा भाजक के दहाई अंक 1 के गुणनफल को घटाने से प्राप्त संख्या को A.D. के दूसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् (18-5 × 1) = 13.

4th step. A.D. के दूसरे पद 13 में भाजक के सैकड़ा अंक 4 से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘5 को भाज्य के तीसरे पद ‘0’ के पहले रखा गया है. अर्थात् P.D. = 50.

5th step. भाज्य के तीसरे पद 0 से बने PD. ’50 में से भागफल के पहले अंक 5′ तथा दूसरे अंक 2 को क्रमशः भाजक के इकाई अंक 3 तथा दहाई अंक ‘1’ से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने पर मिलने वाली संख्या को A.D. के तीसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् 50ー(5×3+2×1)=(50-17)=33.

6th step: A.D. के तीसरे पद ’33 में भाजक के सैकड़ा अंक 4 से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘1’ को भाज्य के चौथे पद ‘6″ के पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 16.

7th step. भाज्य के चौथे पद 6 से बने PD. “16” में से भागफल के दूसरे अंक ‘2’ तथा तीसरे अंक ‘8 को क्रमश: भाजक के इकाई अंक 3 तथा दहाई अंक 1 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने पर मिलने वाली संख्या को A.D. के चौथे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात्
{16-(2×3+8×1)} = (16 – 14) = 2

8th step. A.D. के चौथे पद 2 में भाजक के सैकड़ा अंक 4 से भाग नहीं लगने के कारण भागफल में दशमलव के बाद एक शून्य (0) बैठा दिया गया है.

9th Step. AD के चौथे पद ‘2’ को भाज्य के पांचवे पद ‘4’ के पहले रखने से प्राप्त PD, 24 में से भागफल के तीसरे अंक ‘8’ तथा चौथे अंक ‘0’ को क्रमशः भाजक के इकाई अंक 3 तथा दहाई अंक ‘1’ से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने से मिलने वाली संख्या को A.D. के पाँचवें पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् 24-(8×3+0×1) = (24-24) = 0.

Last step. AD के पांचवे पद ‘0’ को भाज्य के सैकड़ा अंक ‘4’ से भाग देकर प्राप्त भागफल 0 को अभीष्ट भागफल में दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर रखा गया है. इस प्रकार अभीष्ट भागफल = 528 Ans.

 

Example : 135785 ÷ 2089 = ?
Solution :

1st Step. सबसे पहले भाज्य के अन्तिम दो अंकों के पहले दशमलव बैठा दिया जाता है.

2nd Step. 135/20 ⇒ भागफल = 6 तथा शेष = 15
3rd Step. 157 – (6 × 8) = 157-48 = 109

4th Step. 109/20   ⇒ भागफल = 5 तथा शेष = 9

5th Step. 98 – (8 × 5 + 9 × 6) = 98- 94 = 4

6th Step. 45- (8 × 0 + 9 × 5) = 45-45 = 0
Last Step. 0/20

अत: अभीष्ट भागफल = 65 Ans.

 

Division by a four-digit divisor:

Example 3739794 ÷ 5123 = ?
Solution:

1st step. सबसे पहले भाज्य के दाहिने ओर से तीन अंकों के बाद दशमलव लगा दिया गया है.

2nd step. भाज्य के पहले पद 37 जो A.D. का भी पहला पद है, में भाजक के हजार के अंक 15 से भाग देकर प्राप्त शेषफल ‘2’ को भाज्य के दूसरे पद ‘3 के पहले रखा गया है. अर्थात् PD = 23

3rd step. भाज्य के दूसरे पद ‘3 से बने PD, 23 में से भागफल के पहले अंक 7 तथा भाजक के सैकड़ा के अंक 1 के गुणनफल को घटाने से प्राप्त संख्या को A.D. के दूसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् (23-7×1)=16.

4th Step. AD के दूसरे पद ’16’ में भाजक के हजार के अंक ‘5’ से भाग देकर प्राप्त शेषफल “1′ ‘1’ को भाज्य के तीसरे पद ‘9’ के पहले रखा गया है । अर्थात् PD. = 19

5th step. भाज्य के तीसरे पद 9 से बने P.D. = ’19’ में से भागफल के पहले अंक 7′ तथा दूसरे अंक 3 को क्रमश: भाजक के दहाई अंक “2” तथा सैकड़ा के अंक ‘1’ से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने से मिलने वाली संख्या को A.D. के तीसरे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात्{19 -(7 ×2+3 × 1)}=(19 – 17) = 2

6th step. A.D. के तीसरे पद 2 में भाजक के हजार के अंक 5 से भाग नहीं लगने के कारण भागफल में दशमलव के बाद एक (0) बैठा पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 27

7th step, भाज्य के चौथे पद 7 से बने P.D. 27 में से भागफल के पहले अंक 7, दूसरे अंक 3 तथा तीसरे अंक ‘0’ को क्रमशः भाजक के इकाई अंक 3, दहाई अंक ‘2’ तथा सैकड़ा के अंक 1 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने से मिलने वाली संख्या ‘0’ को A.D. के चौथे पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् {(27)-(7 × 3+3 ×2+0 × 1)}=(27-27) = 0.

8th step. A.D. के चौथे पद ‘0’ में भाजक के हजार के अंक 5 से भाग देकर प्राप्त भागफल शून्य (0) को भागफल में दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर रखा गया है तथा A.D. के चौथे पद ‘0’ को भाज्य के पाँचवें पद ‘9″ के पहले रखा गया है. अर्थात् PD. = 09.

9th step, भाज्य के पांचवे पद 9 से बने P.D. 09 में से भागफल के दूसरे अंक 3, तीसरे अंक ‘0’ तथा चौथे अंक ‘0’ को क्रमशः भाजक के इकाई अंक 3, दहाई अंक ‘2’ तथा सैकड़ा के अंक ‘1’ से गुणा करके प्राप्त गुणनफल के योग को घटाने से मिलने वाली संख्या ‘0’ को A.D. के पाँचवें पद के स्थान पर रखा गया है. अर्थात् 109 – (3 × 3+0 ×2+0 × 1) = (9-9) = 0.

Last step. AD के इस अंतिम पद ‘0’ में भाजक के हजार के अंक ‘5’ से भाग देकर प्राप्त भागफल शून्य (0) को अभीष्ट भागफल में दशमलव के बाद तीसरे स्थान पर रखा गया है. इस प्रकार अभीष्ट भागफल = 73 Ans.

 

Example: 3614.34 ÷ 6341 = ?

Solution:

1st step. सबसे पहले भाज्य में दशमलव को तीन अंक और बायीं ओर हटाकर रखा गया है.

2nd Step. 3.6/6  ⇒ भागफल = 0.5 तथा शेषफल = 6

3rd Step. P.D. = (61 – 3 × 5) = (61 – 15) = 46.

4th step. 46/6   ⇒ भागफल = 7 तथा शेषफल = 4,

5th Step. P.D. = {44 – (3 × 7 + 4 × 5)} = (44-41) = 3

6th step. 3 में 6 से भाग नहीं लगेगा. इसलिए भागफल में एक शून्य (0) बैठा दिया गया है.

7th Step. PD ={33-0×3+7 ×4+5×1)} =(33-33)=0

8th step 0/6 =0. इस भागफल शून्य (0) को अभीष्ट भागफल में बैठा दिया गया है.
9th Step. P. D. = 07 – (0×3 + 0 × 4 + 7 × 1) = (7-7) = 0
Last step. 0/6= 0, इस भागफल शून्य (0) को भी अभीष्ट भागफल में बैठा दिया गया है.

अत: अभीष्ट भागफल = 0.57 Ans.

 

Exercise – इन्हें मासिक क्रिया द्वारा हल करें

1. 276544 ÷ 6321 = ?
2. 200651 ÷ 54.32 = ?
3. 204183 ÷ 3241 = ?
4. 488.29 ÷ 2123 – ?
5. 2281.44 ÷ 5432 = ?

 

Section -C

SPECIAL METHOD of DIVISION on WHOLE NUMBERS

Division by 5 25 125 and 625

TRICK → यदि किसी संख्या में 5, 25, 125 या 625 से भाग देना हो तो उक्त संख्या में क्रमश: 2 , 4 , 8 , या 16 से गुना करके प्राप्त गुणनफल में दाहिने तरफ से क्रमश: एक, दो, तीन या चार अंकों के पहले दशमलव बैठाया जाता है अर्थात् गुणनफल में क्रमश: 10, 100, 1000 तथा 10000 से भाग देकर भागफल प्राप्त किया जाता है.

 

 

Division by 75

TRICK → यदि किसी संख्या में 75 से भाग देना हो तो उस संख्या में 3 से भाग देकर प्राप्त भागफल को 4 से गुणा किया जाता है. अन्तत: प्राप्त गुणनफल में दहाई के पहले दशमलव बैठा देने से अभीष्ट भागफल प्राप्त हो जाता है ।

 

Exercise → इन्हे TRICK द्वारा हल करें

1. 57632 ÷ 5 = ?
2. 32546 ÷ 25 = ?
3. 74.3253 ÷ 125 = ?
4. 23457 ÷ 625 = ?
5. 546.372 ÷ 75 = ?

 

 

Division by 70, 300, 400, 7000, 9000 etc.

TRICK
(i) सबसे पहले भाजक में शून्य (0) की जितनी संख्या होती है भाज्य के दाहिने ओर से उतनी संख्या को छोड़कर शेष संख्या में भाजक के शेष अंक (शून्य को छोड़कर) से भाग दिया जाता है.

(ii) इस प्रकार प्राप्त शेषफल को भाज्य के छोड़ी गई संख्या के बायीं ओर रख देने से अभीष्ट शेषफल प्राप्त होता है.

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. 95432 ÷ 60 = ?
2. 234684  ÷ 400 = ?
3. 468321  ÷ 700 = ?
4. 875432 ÷ 9000 = ?
5. 534687 + 3000 = ?

 

Division by 45, 350, 4500 etc:

TRICK
(i) सबसे पहले भाज्य तथा भाजक को 2 से गुणा किया जाता है.
(ii) गुणा करने के बाद प्राप्त भाजक में दाहिने ओर शून्य (0) की जितनी संख्या होती है प्राप्त भाज्य के दाहिने ओर से उतनी संख्या को छोड़कर शेष संख्या में नया भाजक के शेष संख्या (शून्य को छोड़कर) से भाग दिया जाता है.
(iii) इस प्रकार प्राप्त शेषफल को नया भाज्य के छोड़ी गई संख्या के बायीं ओर रख देने से अभीष्ट शेषफल प्राप्त होता है.
(iv) इस अभीष्ट शेषफल का ½ भाग ज्ञात कर लिया जाता है.

Exercise  इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. 42346 ÷ 150 = ?
2. 75432 ÷ 450 = ?
3. 87543 ÷ 2500 = ?
4. 324563 ÷ 6500 = ?
5. 754362 ÷ 4500 = ?

 

Division by 9 99 999 9999 etc

क्रिया विधि
(i) सबसे पहले भाजक में अंक ‘9″ की जितनी बार पूनरावृत्ति होती है भाज्य के अंकों से उतने ही अंक का अलग-अलग समूह (Group) बना लिया जाता है. यदि सबसे बायीं ओर 9 के पूनरावृत्ति से कम ही अंक बचता हो तो उसको भी अन्तिम समूह के रुप में रखा जाता है.
(ii) अब भागलफल तथा शेषफल ज्ञात करने के लिए एक लम्बवत लकीर खींचा जाता है.
(iii) इस लम्बवत लकीर के दायीं ओर भाज्य के अंकों से बने सबसे दायीं ओर के एक समूह के अंकों को रखा जाता है तथा शेष संख्या को लकीर के बायीं ओर रखा जाता है.
(iv) फिर लकीर के दाहिने और भाज्य के दाहिने ओर से दूसरे समूह को रखा जाता है तथा शेष संख्या को लकीर के बायीं ओर रखा जाता है.
(v) इसी प्रकार अन्तिम समूह को भी बायीं ओर रख दिया जाता है.
(vi) दाहिने ओर के सभी समूहों को जोड़ा जाता है. यदि योगफल भाजक से छोटा होता है तो शेषफल वही रह जाता है लेकिन योगफल अधिक आने पर सबसे बायीं ओर के अंक को हासिल के रुप में ले लिया जाता है. इस हासिल के अंक को योगफल के शेष संख्या में जोड़ देने पर अभीष्ट शेषफल प्राप्त हो जाता है.
(vii) बायीं ओर के समूहों के योगफल में दायीं ओर के समूहों के योगफल से प्राप्त हासिल को जोड़ देने पर अभीष्ट भागफल प्राप्त हो जाता है.

Example 1. 53246 ÷ 9 = ?

Solution :

भागफल = (5914 + 2) = 5916 तथा शेषफल = 0 + 2 = 2 .

? = 5916  2Ans.

 

Example 2. 453267 ÷ 99 = ?

Solution :

भागफल =(4577+1)=4578 तथा शेषफल =(44+ 1)=45

4578 4599 = 4578 511  Ans.

 

Example 3. 4378546 ÷ 999 = ?
Solution:

भागफल = 4382 तथा शेषफल = 928

? =4382 = 928999 Ans.

 

Example 4. 2345746 ÷ 9999 = ?
solution:

भागफल = 234 तथा शेषफल = 5977

? = 234 59779999 Ans.

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. 3257  ÷  9= ?
2. 457632  ÷  99 = ?
3. 8532432  ÷   999 = ?
4. 23456782  ÷  9999 = ?
5. 61234632  ÷  99999 = ?

 

Division by any number smaller and in the neighbourhood of 100 1,000 or 10,000 
क्रिया विधि
(i) सबसे पहले भागफल तथा शेषफल ज्ञात करने के लिए एक लम्बवत् लकीर खींचा जाता है.|
(ii) इस लम्बवत् लकीर के दायीं ओर भाज्य के अंकों में से उतने ही अंकों को रखा जाता है जितना कि भाजक में अंकों की संख्या होती है.
(iii) फिर लकीर के बायीं ओर की संख्या को उस संख्या से गुणा करके नीचे लिखा जाता है जितना कि 100, 1000 या 10,000 से भाजक में कमी होती है. इस गुणनफल को लिखते समय यह भी ध्यान रखा जाता है कि इसका इकाई अंक पहले समूह के इकाई अंक के सामने पड़े.
(iv) कमी की संख्या से गुणा करने तथा नीचे लिखने की क्रिया तब तक की जाती है जब तक कि एक भी अंक लकीर के बायीं ओर न बचे.
(v) दायीं ओर के संख्याओं को जोड़ा जाता है. यदि योगफल भाजक से छोटा होता है तो शेषफल वही होता है लेकिन योगफल अधिक आने पर सबसे बायीं ओर के अंक को हासिल के रुप में ले लिया जाता है. इस हासिल के अंक की कमी की संख्या से गुणा करके योगफल के शेष संख्या में जोड़ देने पर अभीष्ट शेषफल प्राप्त हो जाता है.
(vi) बायीं ओर के संख्याओं के योगफल में दायीं ओर के संख्याओं के योगफल से प्राप्त हासिल को जोड़ देने पर अभीष्ट भागफल प्राप्त हो जाता है.

Example 23465 ÷ 92 = ?

Solution :

1st Step.
2nd Step. (234 × 8) 
3rd Step. (18 × 8)
4th Step. (1 × 8)

भागफल = (253 + 1) = 254 तथा शेषफल = (89 + 1 × 8)= 97 (जो भाजक 92 से बड़ा है)

अभीष्ट शेषफल =(97-92) =5 तथा अभीष्ट भागफल = (254+ 1) = 255
? = 255 592 Ans.

Note – यदि शेषफल का मान भाजक से अधिक आए तो ऐसी स्थिति में उस शेषफल में से भाजक को घटाने पर अभीष्ट शेषफल प्राप्त होता है. शेषफल का मान भाजक से जितना गुणा अधिक आता है उस अधिक गुणा को भागफल में जोड़ देने से अभीष्ट भागफल प्राप्त हो जाता है.

 

Example 3. 34532 ÷ 991 = ?
Solution :

1st Step.
2nd Step. (34 × 9) 

भागफल = 34 तथा शेषफल = 838

?=34 838991 Ans.

 

Example 4. 2354647 ÷ 9996 = ?
Solution:

 1st Step.

2nd Step. (235 × 4) 

भागफल = 235 तथा शेषफल = 5587

? = 235  55879996 Ans.

 

Exercise  इन्हें TRICK द्वारा हल करें

1. 43267 ÷ 94 = ?
2. 523748 ÷ 992 = ?
3. 7432165 ÷ 9988 = ?
4. 81234687 ÷ 9993=?
5. 321468753 ÷ 99991 = ?

 

Division by continued different divisors

TRICK →

 

 

Division of mixed numbers by whole numbers or fractions.

Division by whole number

TRICK→

 

 

Division by Fractions

TRICK

 

दशमलव का भाग (Division of Decimal): दशमलव वाले संख्यों में भाग देते समय सबसे पहले भाज्य तथा भाजक से दशमलव हटाकर पूर्ण संख्या बना लिया जाता है. इसके बाद भाज्य में भाजक से भाग देकर भागफल प्राप्त कर लिया जाता है.

Case 1. यदि भाज्य में दशमलव के दाहिने और अंकों की संख्या भाजक में दशमलव के दाहिने ओर अंकों की संख्या से अधिक हो तो इनके अन्तर के बराबर भागफल के दाहिने ओर से अंकों के पहले दशमलव बैठा दिया जाता है.

Case 2. यदि भाजक में दशमलव के दहिने और अंकों की संख्या भाज्य में ਸਰਬੰਬਆਰ भागफल के दाहिने और शून्य बैठा दिया जाता है.

यहाँ, भाज्य में दशमलव के दाहिने ओर कुल अंकों की संख्या = 8 तथा भाजक में दशमलव के दाहिने ओर कुल अंकों की संख्या = 5
इनका अन्तर= (8 – 5) = 3
∴ ? = 1.008 Ans.

 

यहाँ, भाज्य में दशमलव के दाहिने ओर कुल अंकों की संख्या = 7 तथा
भाजक में दशमलव के दाहिने ओर कुल अंकों की संख्या = 13
इनका अन्तर = (13-7) = 6
∴ ? = 40, 50, 00,000 Ans.

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