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पासा

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‘पासा’ घन या घनाभ के आकार की एक त्रिविमीय आकृति है जिनमें कुल 6 फलक (सतह) होते हैं। पासे को किसी भी तरफ से देखने पर तीन ही सतहें दिखाई देती है जबकि तीन सतहें छुपी हुई होती हैं जबकि पासे की दो विपरीत सतहें एक साथ दिखाई नहीं देती हैं।


अर्थात् उपरोक्त दिए गए पासे की विपरीत सतहें निम्नवत् हैं

 

प्रकार 1

सामान्यत: पासे की सतहों पर 1 से 6 तक के अंक लिखे होते हैं। इस आधार पर पासे को हम दो भागों में विभाजित कर सकते हैं।

सामान्य पासा (Ordinary Dice) इस तरह के पासे की विपरीत सतहों के अंकों का योग 7 नहीं होता है बल्कि निकटवर्ती सतहों के अंको का योग 7 हो सकता है।

अत: दिया गया पासा एक सामान्य पासा है।
अत: इसमें यदि 2 के विपरीत सतह का अंक पूछा जाए, तो 1, 4 एवं 6 में से कोई भी एक हो सकता है।

 

मानक पासा (Standard Dice) इस तरह के पासे की किसी भी दो विपरीत सतहों के अंकों का योग 7 होता है। अत: यदि आसपास की दो सतहों का योग 7 नहीं हो, तो वह मानक पासा हो सकता है।

अत: दिया गया पासा एक मानक पासा है।

इस प्रकारे के पासे में, यदि किसी भी अंक का विपरीत अंक पूछा जाए, तो अंक को 7 में से घटा देगे,
अर्थात्
1 के विपरीत 7 – 1 = 6
2 के विपरीत 7 – 2 = 5

 

पासे पर आधारित प्रश्नों के प्रकार –
(i) पासे की दो स्थितियों को दर्शाया जाता है

 

(ध्यान दे कि यदि समान सतह पर समान अंक दिखे, तो समान सतहों के अंक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं) –
अर्थात् 6 के विपरीत 3
4 के विपरीत  5
अतः   2 के विपरीत 1

समान अंक दो भिन्न सतहों पर हो, तो समान अंक से शुरू कर उसे अलग-अलग श्रेणी में clockwise लिखें जैसे कि

X पासे के लिए 2, 4, 6
Y पासे के लिए 2, 5, 3

इसमें 4 के विपरीत 5
6 के विपरीत 3
2 के विपरीत 1 होगा।

(ii) यदि दर्शाई गई दोनों स्थितियों में कोई भी अंक समान नहीं हो तो मानकता के नियम की जाँच करें।

अत: दोनों मानक पासा हैं।

(iii) यदि दिए गए पासे की तीन या चार स्थिति हो, तो उल्लिखित नियमों का पालन कर सकते हैं

(i) प्रश्न- 3 की विपरीत सतह का अंक क्या है?
उत्तर- स्थिति ‘X’ और ‘Z’ से 5 दोनों ही स्थितियों में समान सतह पर है।
अत: 3 के विपरीत 1

(ii) प्रश्न-दर्शाए गए पासे की स्थिति में 6 की विपरीत सतह पर क्या है?
उत्तर-स्थिति ‘X’ और ‘Y’ से स्थिति ‘X’ से अंकों को clockwise व्यवस्थित करने पर 1, 4, 5
स्थिति ‘Y’ से अंकों को clockwise व्यवस्थित करने पर 1, 4, 6
अर्थात् 6 के विपरीत 5

 

(b) नीचे एक पासे को चार भिन्न-भिन्न रूपों से दर्शाया गया है

(1) प्रश्न-स्थिति ‘B’ की निचली सतह पर कौन-सा अंक होगा?
(a) 6   (b) 5   (c) 3   (d) 1
उत्तर-A तथा B में 4 और 5 उभयनिष्ठ है। अतः 2 की विपरीत सतह पर 1 होगा।

 

(2) प्रश्न-3 की विपरीत सतह पर कौन-सा अंक होगा?
(a) 1   (b) 2   (c) 5   (d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-A तथा B से, 1 के विपरीत 2
B तथा D से, 4 के विपरीत 6
अत: 3 के विपरीत सतह पर 5 होगा।

 

(iv) यदि अंकों के स्थान पर खास प्रकार के चिन्हों का प्रयोग किया जाए या रंगों का प्रयोग किया जाए |

 

→ दर्शाई गई स्थिति के आधार पर (@) चिन्ह के विपरीत क्या होगा?

(a) X   (b) □   (c) ∆   (d) $
उत्तर-दर्शाई गई स्थिति में ∆ से शुरू कर clockwise लिखने पर @ के विपरीत X होगा।

 

प्रकार 2

इन प्रश्नों में एक प्रसार चित्र या आकृति दी हुई होती है, जिसे मोड़ कर घन या पासे का रूप देना होता है। आकृति में कुल छ: वर्ग दिए हुए होते हैं और उसमें अंक/अक्षर/चिन्ह अंकित होते हैं। अंक/अक्षर/चिन्ह के सजावट की मदद से सही उत्तर देना पड़ता है

 

आकृति को मोड़कर घन बनाने पर कोई भी दो विपरीत सतह वाले जोड़े में से केवल एक सतह ही दिखाई देगी, क्योंकि कोई भी विपरीत सतह वाला अंक या अक्षर या चिन्ह एक साथ दिखाई नहीं देता है।
1 के विपरीत 5, 3 के विपरीत 6, 2 के विपरीत 4

उदाहरण : नीचे एक प्रसार चित्र दिया हुआ है, जिसे मोड़कर चार विकल्पों में से कौन-से विकल्प का रूप दिया जा सकता है ?

हल : (d) उपरोक्त प्रसार चित्र से स्पष्ट है कि A के विपरीत E, B के विपरीत F तथा C के विपरीत D है। विकल्प (a), (b) एवं (c) में विपरीत सतहों को आसपास दर्शाया गया है, जो सम्भव नहीं है। जबकि, विकल्प (d) के पासे में दर्शाया गया कोई भी अक्षर एक-दूसरे के विपरीत नहीं है। इसलिए ये सभी आसन्न सतहों पर हो सकते हैं। अत: यह घन, प्रसार चित्र को मोड़कर बनाना सम्भव है।

 

उदाहरण : नीचे एक प्रसार चित्र दिया गया है जिसे मोड़कर एक घन का आकार यदि दिया जाए तो निम्न चार विकल्पों में से कौन-सा सम्भव है?

हल: (c) उपरोक्त प्रसार चित्र से यह स्पष्ट है कि ∆ के विपरीत O, X के विपरीत @ तथा अन्य दो एक-दूसरे के विपरीत हैं।
चूँकि विपरीत सतह आस-पास नहीं होती इसलिये विकल्प (a), (b) एवं (d) सम्भव नहीं हैं।

विकल्प (C) में दर्शाए गए चिन्ह में तथा खाली सतह में से कोई भी दो एक-दूसरे के विपरीत नहीं है। अत: यह घन प्रसार चित्र को मोड़कर बनाया जा सकता है।

 

उदाहरण : नीचे एक प्रसार चित्र दिया गया है, जिसे मोड़कर घन बनाने पर दिए गए चार विकल्पों में से कौन-सा सम्भव है?

हल : (b) विकल्प (a) में O और × एक साथ दिखाई दे रहे हैं, जोकि प्रसार चित्र के अनुसार एक दूसरे के विपरीत हैं। अत: यह घन, प्रसार चित्र से बनाना सम्भव नहीं है।

विकल्प (b) में दर्शाए गए चिन्हों में कोई भी एक दूसरे के विपरीत नहीं है। अत: यह विकल्प सम्भव है।

विकल्प (C) में ∆ और # को एक साथ दर्शाया गया है, जोकि प्रसार चित्र में एक-दूसरे के विपरीत दर्शाए गए हैं। इसलिए यह घन सम्भव नहीं है।

विकल्प (d) में □ और ⋈ को एक साथ दिखाया गया है, जोकि प्रसार चित्रानुसार एक-दूसरे के विपरीत हैं। अत: यह घन सम्भव नहीं है।

 

चार त्रिकोण मिलकर जब एक सतह बने तो चारों त्रिकोणों पर स्थित चित्र को ध्यानपूर्वक देखें तथा clockwise या anticlockwise उसकी व्यवस्था में परिवर्तन न करें। ऊपर लिखित प्रसार चित्र को देखा जाए तो चारों त्रिकोण में स्थित चित्र को clockwise सजाने पर X, ∆,और O प्राप्त होगा।

 

उदाहरण : नीचे एक प्रसार चित्र दिया गया है जिसे मोड़कर एक घन के आकार का डिब्बा बनाना है। विकल्पों में दिए गए चार घनों में से कौन-सा घन बनाना सम्भव है?

हल : (d) विकल्प (a) में प्रसार चारों त्रिकोणों का चित्रानुसार 5 की विपरीत सतह पर होगा लेकिन चित्र में दोनों को साथ-साथ दिखाया गया है, जोकि सम्भव नहीं है।

विकल्प (b) में कोई भी दो विपरीत सतह एक साथ नहीं दिखाई गई है लेकिन चारों त्रिकोण से बनी सतह में त्रिकोणों का व्यवस्थिकरण गलत है। अत: यह विकल्प भी गलत है।

विकल्प (C) में 2 और 4 को पड़ोसी सतह पर दिखाया गया है, जोकि प्रसार चित्रानुसार एक दूसरे के विपरीत है। अत: यह विकल्प भी सम्भव नहीं है।

विकल्प (d) में कोई भी दो विपरीत सतह साथ-साथ नहीं दिख रही है और चारों त्रिकोणों का व्यवस्था भी सही है। अत: यह विकल्प सम्भव है।

 

(v) चार छोटे वर्ग मिलकर एक सतह बनेगी।

केवल ध्यान रखा जाए कि वर्ग में स्थित अक्षरों का क्रम न बदले।

उदाहरण : नीचे एक प्रसार चित्र दिया गया है, जिसे मोड़कर यदि घन का आकार दिया जाए, तो विकल्पों में दिए गए घन में से कौन-सा घन बनाना सम्भव है ?

हल : (a) विकल्प (a) के अलावा अन्य किसी भी विकल्प में नियम का पालन नहीं किया गया है। अत: अन्य विकल्प गलत हैं।

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