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घन एवं घनाभ

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घन (cube) किसी घन की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई समान होती हैं अर्थात् जिसकी लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई समान होती हैं, उसे घन कहते हैं।

एक घन में सदैव होते हैं । (a) छ: फलक (b) बारह किनारे (c) आठ कोने

 

घनाभ (Cuboid) किसी घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई हमेशा असमान अर्थात् भिन्न-भिन्न होती है तथा अन्य विशेषताएँ घन के ही अनुरूप होती हैं । अर्थात् इसमें भी छ: फलक, बारह किनारे तथा आठ कोने होते हैं।


रंगों के आधार पर घनों का निर्धारण: 

Central Cube यह प्रत्येक फलक के ठीक बीच में स्थित होता है तथा इसकी केवल एक सतह रंगीन होता है। नीचे के चित्र में संख्या 3 से central cube दर्शाया गया है।

Middle Cube यह प्रत्येक किनारे के ठीक मध्य में स्थित होता है तथा इसकी केवल दो सतहें रंगीन होती हैं। चित्र में संख्या 1 से middle cube दर्शाया गया है।

Corner Cube यह प्रत्येक कोने पर स्थित होता है तथा इसकी तीन सतहें रंगीन होती हैं। चित्र में संख्या 2 से corner cube दर्शाया गया है।

Inner Cube यह प्रत्येक फलक के central cube के मध्य में स्थित होता है तथा इसकी एक भी सतह रंगीन नहीं होती है।

रंगीन या रंगहीन फलकों की संख्या की गणना के लिए महत्वपूर्ण सूत्र
(i) रंगहीन फलक वाले घनों की संख्या = (n-2)3
(ii) एक रंगीन फलक वाले घनों की संख्या = (n-2)2  × 6
(iii) दो रंगीन फलक वाले घनों की संख्या = (n-2) × 12
(iv) तीन रंगीन फलक वाले घनों की संख्या = 8 जहाँ n = प्रत्येक फलक के प्रत्येक स्तम्भ में समान घनीय खण्डों की संख्या अब हम उपरोक्त तथ्यों के आधार पर कुछ

 

प्रश्नों को उदाहरण स्वरूप देखेंगे

प्रकार 1

⇒ निर्देश (उदाहरण 1-4) किसी घन की सभी सतहों को एक समान रंग से रंगा गया हैं तथा उसे इस प्रकार काटा गया है कि 125 छोटे-छोटे एवं बराबर घन बन सके। इन जानकारियों के आधार पर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए |
1. वैसे घनों की संख्या कितनी होगी, जिनकी केवल एक सतह रंगीन होगी?
(a) 48    (b) 54
(c) 42     (d) 64

2. वैसे घनों की संख्या कितनी होगी, जिनकी केवल दो सतह रंगीन होंगी?
(a) 36   (b) 48
(c) 54    (d) 64

3. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी तीन सतह रंगीन हों?
(a) 12    (b) 16    (c) 24    (d) 8

4. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी कोई भी सतह रंगीन नहीं होगी?
(a) 16    (b) 24    (c) 27    (d) 36

 

हल : यहाँ

1. (b) हम जानते हैं कि Central Cube की केवल एक सतह रंगीन होती है अत: हम Central Cube की संख्या ज्ञात कर लें, तो केवल सतह रंगे हुए घनों की संख्या ज्ञात हो जाएगी।

∵ Central Cubes = 6(n – 2)2 = 6(5-2)2 = 6 x 9 = 54
अत: केवल एक सतह रंगीन वाले घनों की कुल संख्या = 54

2. (a) हम जानते हैं कि middle Cube ही ऐसा घन है जिसकी दो सतह रंगीन होती हैं इसलिए middle Cube की संख्या ज्ञात कर लिया जाए तो दो सतह रंगीन कुल घनों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
∵ Middle Cube = 12 (n – 2) = 12 (5-2) = 12 x 3 = 36
अत: दो सतह रंगीन वाले घनों की कुल संख्या = 36

3. (d) हम जानते हैं कि तीन सतह केवल Corner Cube की ही रंगीन होती हैं और Corner Cube की संख्या हमेशा 8 होती है। अत: तीन सतह रंगे हुए घनों की कुल संख्या = 8

4. (c) हम जानते हैं कि inner Cube की कोई भी सतह रंगीन नहीं होती है इसलिए inner Cube की संख्या ज्ञात कर लेने पर अभीष्ट घनों की संख्या ज्ञात हो जाएगी।
∵ Inner cube = (n-2) = (5–2) = (3) = 27
अत: वैसे घन जिनकी कोई भी सतह रंगीन नहीं है कि संख्या 27 होगी।

 

प्रकार 2

⇒ निर्देश (उदाहरण 1-5): एक 4 सेमी के घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंग दिया गया है तथा इसे 1 सेमी के छोटे-छोटे समान घनों में परिवर्तित करने के लिए काट दिया गया है। इन जानकारियों के आधार पर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए|

1. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी किसी भी सतह पर रंग नहीं है?
(a) 27   (b) 8   (c) 36   (d) 6

2. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी तीन सतहें रंगी हुई हैं?
(a) 16   (b) 12   (c) 8   (d) 24

3. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल एक सतह रंगीन है ?
(a) 24   (b) 28   (c) 32   (d) 12

4. ऐसे घनों की संख्या कितनी है, जिनकी केवल दो सतहें रंगी हुई हैं?
(a) 26   (b) 24   (c) 22   (d) 16

5. इस घन से कुल कितने घन प्राप्त होंगे?
(a) 64   (b) 27   (c) 48   (d) 36

 

हल : 1. (b) चूँकि यहाँ n = 4 ‘,
∴ एक भी सतह रंगीन नहीं होने वाले घनों की संख्या
=(n-2)3 = (4-2)3  = 23  = 8

2. (c) तीन सतह रंगीन होने वाले घनों की कुल संख्या 8 होगी क्योंकि किसी भी घन को कितने ही छोटे समान घनों में विभाजित किया जाए, तीन सतह रंगीन होने वाले घनों की कुल संख्या हमेशा 8 होती है।

3. (a) केवल एक सतह रंगीन होने वाले घनों की कुल संख्या = 6(n – 2) = 6 (4-2) = 6 x 4 = 24

4. (b) केवल दो सतह रंगीन वाले घनों की कुल संख्या = 12 (n – 2) = 12 (4-2) = 24

5. (a) कुल घनों की संख्या =(4)’ = 4 × 4 ×4 = 64

 

 

प्रकार 3

⇒ निर्देश (उदाहरण 1-6):  किसी घन की दो विपरीत सतहों को लाल रंग से तथा शेष सभी सतहों को हरे रंग से रंगा गया है। अब इसे इस प्रकार से काटा गया है कि 125 छोटे-छोटे एवं बराबर घन बन सकें। इन जानकारियों के आधार पर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए|

1. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी केवल एक सतह रंगीन होगी और वह लाल होगी?
(a) 12   (b) 18   (C) 24   (d) 27

2. वैसे घनों की संख्या कितनी होगी, जिनकी केवल एक सतह रंगीन होगी और वह हरी होगी ?
(a) 24   (b) 27   (c) 36   (d) 48

3. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी दो सतहें रंगीन होंगी जिसमें एक लाल और दूसरा हरी होगी?
(a) 24   (b) 27   (c) 36   (d) 48

4. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी दो सतहें रंगीन होंगी तथा दोनों ही हरी होगी?
(a) 8   (b) 12   (c) 16   (d) 20

5. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी एक भी सतह रंगीन नहीं होगी ?
(a) 12   (b) 18   (c) 24    (d) 27

6. वैसे कितने घन होंगे, जिनकी दो सतहें रंगीन होंगी और दोनों ही लाल होंगी ?
(a) 4   (b) 8   (c) 16   (d) एक भी नहीं

 

हल : यहाँ n = 3/सभी छोटे घनों की संख्या

1. (b) हमें ऐसे घनों को ज्ञात करना है जिनकी केवल एक सतह लाल रंग की है। यहाँ हम जानते हैं कि एक सतह केवल Central Cube में रंगीन होती है। अत: दो फलक पर 3 स्थित Central Cube ज्ञात कर लें तो हमें अभीष्ट घन प्राप्त हो जाएँगे।

अत: Central Cube की कुल संख्या =

6(n – 2)2  = 6 (5-2)2  = 6 x 9 = 54

∴ छ: फलक पर स्थित Central Cube की संख्या = 54
∴दो फलक पर स्थित Central Cube की संख्या = (54/6) ×2=18
अत: केवल एक सतह लाल रंग से रंगे घनों की संख्या = 18

2. (c) उपरोक्त नियमानुसार केवल एक सतह हरे रंग से रंगे हुए घनों की संख्या 54 = <4=36 (’ यहाँ हरे रंग से चार सतहें रंगी हुई हैं) अत: अभीष्ट घनों की संख्या = 36

3. (a) केवल दो सतहें जिसमें एक लाल तथा दूसरी हरे रंग से रंगी घनों की कुल संख्या = 2 × 4 × (5 – 2) = 8 × 3 = 24

4. (b) हरे रंग से रंगी हुई दो सतहें वाले घनों की कुल संख्या = 4 (n – 2) = 4 (5–2) = 4 x 3 = 12

5. (d) कोई भी सतह रंगीन नहीं होने वाले घनों की कुल संख्या =(n – 2)3  = (5-2)3  = (3)3  = 27

6. (d) लाल रंग से रंगी हुई दो सतहों वाले घनों की कुल संख्या
= 0 × (5 – 2) = 0 × 3 = 0 अर्थात् एक भी नही

⇒ नोट: जब कोई भी दो विपरीत फलक तथा शेष अन्य चार फलक अलग-अलग रंग से रंगे हुए हो तो दो विपरीत फलक में रंगी हुई दो सतह वाले घनों की कुल संख्या हमेशा शून्य होगी।

 

 

प्रकार 4

⇒ निर्देश (उदाहरण 1-10):  एक ठोस घन की दो विपरीत सतहों को लाल रंग से, दो विपरीत सतहों को नीले रंग से तथा शेष दो विपरीत सतहों को काले रंग से रंग दिया गया है, इसके बाद इसे 7 घन सेमी के छोटे-छोटे 276, ठोस घनों में काटा गया है। इन जानकारियों के आधार पर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दे |

1. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी तीन सतहें अलग-अलग रंगों से रंगी हुई हैं?
(a) 10   (b) 8   (c) 6   (d) 12

2. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी तीन सतहें रंगी हुई हैं?
(a) 4   (b) 6   (c) 8   (d) 10

3. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल दो सतहें रंगी हुई हैं?
(a) 36   (b) 48   (c) 24   (d) 16

4. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल एक सतह रंगी हुई है ?
(a) 144   (b) 88   (c) 96   (d) 102

5. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी कोई भी सतह रंगी हुई नहीं है?
(a) 48   (b) 64   (c) 7   (d) 81

6. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल एक सतह रंगी हुई है वह भी लाल रंग से?
(a) 32   (b)84   (c) 36   (d) 81

7. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल दो सतहें रंगी हुई हैं जिनमें एक लाल तथा दूसरा काला है?
(a) 12   (b) 16   (c) 24   (d) 28

8. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी दो सतहें काले रंग से रंगी हुई हैं ?
(a) 0   (b) 4   (c) 6   (d) 8

9. ठोस घन को विभाजित करने से पहले उसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई कितनी है?
(a) 4 सेमी   (b) 5 सेमी   (c) 6 सेमी   (d) 8 सेमी

10. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी एक सतह नीले रंग से तथा दूसरी सतह लाल रंग से रंगी हुई हैं? (अन्य सतह रंगी हुई या बिना रंगी हुई भी हो सकती हैं)
(a) 24   (b) 28   (c) 26   (d) 12

 

हल :यहाँ

1. (b) हम जानते हैं की तीन सतहें corner cube में होती हैं तथा Corner Cube की संख्या हमेशा 8 होती है, साथ ही प्रत्येक विपरीत सतह अलग-अलग रंग से रंगी हुई है इसलिए corner Cube की प्रत्येक सतह अलग-अलग रंग से रंगी हुई होंगी अत: तीन अलग-अलग रंगों से रंगे हुए घनों की कुल संख्या = 8

2. (c) Corner Cube की तीन सतहें रंगीन होती हैं अत: तीन सतहें रंगे हुए घनों की संख्या = 8

3. (b) हम जानते हैं कि दो सतह middle Cube की रंगीन होती हैं
∴ middle cube = 12 (n – 2) = 12(6–2) = 12 x 4 = 48
अत: केवल दो सतहें रंगे होने वाले घनों की कुल संख्या = 48 –

4. (c) हम जानते हैं कि केवल एक सतह Central Cube की रंगीन होती हैं
∴ central cube = 6(n – 2)2   = 6 (6–2)2   = 6 x 16 = 96
अत: केवल एक सतह रंगीन होने वाले घनों की कुल संख्या = 96

5. (b) हम जानते हैं कि inner Cube की कोई भी सतह रंगीन नहीं होती है
∴ inner Cube = (n -2)3   =(6–2)3   =64
अत: एक भी सतह रंगीन नहीं होने वाले घनों की कुल संख्या = 64

6. (a) हम जानते हैं कि Central Cube की ही एक सतह रंगीन होती है लेकिन यहाँ घन की केवल दो विपरीत सतहों पर ही लाल रंग है, अत: लाल रंग से रंगी हुई केवल एक सतह वाले घनों की कुल संख्या
= 2 x (n – 2)2   = 2 x (6–2)2
= 2 x 4 x 4 = 32

7. (b) हम जानते हैं कि केवल दो सतहें middle cube में ही रंगीन होती हैं लेकिन प्रश्न में केवल दो विपरीत सतह लाल एवं दो विपरीत सतह काली हैं, अत: एक लाल तथा एक काले रंग को लेकर केवल दो सतह रंगीन होने वाले घनों की कुल संख्या = 2 x 2 x (n – 2) = 4 x (6–2) = 16

8. (a) काले रंग से रंगी होने वाली केवल दो सतहें वाले घनों की कुल संख्या = 0 x (n – 2) = 0 क्योंकि काला दो विपरीत सतहों पर ही है जिसकी भुजा स्पर्श नहीं होती।

9. (c) प्रत्येक भुजा की लम्बाई

10. (a) अन्य सतह रंगी या बिना रंगी हुई होने की शर्त रखते हुए वैसे घन जिनकी एक सतह लाल तथा एक सतह नीली हैं, 24 होगें।

 

प्रकार 5

घनाभ (Cuboid) से सम्बन्धित प्रश्न

उदाहरण : एक आयताकार ब्लॉक जिसका आयाम 6 सेमी × 4 सेमी × 2 सेमी है, को यदि 1 सेमी आयाम वाले छोटे-छोटे घनों में परिवर्तित कर दिया जाए, तो कुल कितने घन प्राप्त होंगे?
(a) 81   (b) 64   (c) 36   (d) 48
हल : (d) अभीष्ट घनों की संख्या = 6 × 4 × 2= 48

 

प्रकार 6

⇒ निर्देश (उदाहरण 1-5):  नीचे दी गई जानकारियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करके इन पर आधारित प्रश्नों का उत्तर दीजिए |
(1) एक आयताकार लकड़ी का ब्लॉक हैं जिसकी लम्बाई 6 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी एवं ऊँचाई 2 सेमी है।
(ii) दोनों ओर जिनका आयाम 4 सेमी × 2 सेमी है, नीले रंग से रंगे गए हैं।
(iii) दोनों ओर जिनका आयाम 6 सेमी × 2 सेमी है, काले रंग से रंगे गए हैं।
(iv) दोनों ओर जिनका आयाम 6 सेमी × 2 सेमी है, लाल रंग से रंगे गए हैं।
(v) इस ब्लॉक को इस प्रकार से काटा गया है कि ये 1 – 1 सेमी के बराबर-बराबर छोटे घनों में परिवर्तित हो गए हैं।

1. ऐसे कितने घन होंगे, जिनकी तीन सतहें रंगी हुई एवं तीन सतहें बगैर रंगी हुई हैं?
(a) 4   (b) 24   (c) 8   (d) 16

2. कुल घनों की संख्या कितनी है?
(a) 24   (b) 48   (c) 96   (d) 12

3. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी केवल दो सतहें रंगी हुई हैं?
(a) 8   (b) 16   (c) 24   (d) 32

4. ऐसे कितने घन हैं, जिनमें तीनों रंग लगे हुए हैं?
(a) 4   (b) 8   (c) 16   (d) 32

5. ऐसे कितने घन हैं, जिनकी दो सतहों पर काला रंग लगा हुआ है?
(a) 4   (b) 8   (c) 6   (d) एक भी नहीं

 

हल : नीचे दिए गए आरेख से स्पष्ट है कि यहाँ प्रत्येक सतह में 24 घन हैं,

1. (c) हम जानते हैं कि केवल Corner Cube में ही तीन सतहें रंगी हुई एवं तीन सतहें बिना रंगी हुई होती हैं, साथ ही Corner Cube की संख्या हमेशा 8 होती हैं
अत: अभीष्ट घनों की संख्या = 8

2. (b) प्रश्नानुसार, ऊपर दिए गए आरेख से स्पष्ट है कि यहाँ आयताकार ब्लाक के प्रत्येक परत में 24 घन हैं, अत: अभीष्ट घनों की संख्या = 24 x 2 = 48
अथवा एक अन्य विधि से कुल घनों की संख्या
=6×4×2=48

3. (c) हम जानते हैं कि middle Cube की ही केवल दो सतहें रंगी होती हैं। अत: central Cube एवं corner cube को ज्ञात कर कुल घनों की संख्या में घटा देने पर middle Cubes ज्ञात हो जाएँगे, जो केवल दो सतहों पर रंगे हुए घन होंगे।

अत: अभीष्ट घनों की संख्या = 48 – (8 × 2 + 8) = 48 – 24 = 24

4. (b) ऐसे घन जो तीन रंग से रंगे हुए होते हैं, Corner Cubes के घन होंगे,
अत: अभीष्ट घनों की संख्या = 8

5. (d) उपरोक्त आरेख से स्प्ष्ट है की ऐसा एक भी घन नहीं मिलेगा जिसकी दो सतहें काले रंग से रंगी हो  |

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