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गुणा

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Introduction:
* गुण्य (Multiplicand): जिस संख्या में गुणा किया जाता है उसे गुण्य कहा जाता है.
* गुणक (Multiplier): जिस संख्या से गुणा किया जाता है उसे गुणक कहा जाता है.
* गुणनफल (Multiple): गुणनक से गुण्य में गुणा करने पर जो परिणाम प्राप्त होता है उसे गुणनफल कहा जाता है. अत: गुण्य × गुणक = गुणनफल


Example: 215 × 20 = 4300

 

गुना करने के सूक्षम विधि (short-Cut Method of Multiplication) को निम्नलिखित दो भागों में बाँटा जा सकता है.
1. सामान्य नियम (General Rules): इस विधि द्वारा सभी प्रकार के संख्याओं का गुणनफल निकाला जा सकता है.
2. विशिष्ट नियम (special Rules): इस विधि द्वारा कुछ विशेष प्रकार के संख्याओं का गुणनफल शीघ्रता से निकाला जा सकता है.

 

Noble Suggestion: Bank Clerical परीक्षाओं में सरलीकरण सम्बन्धित अधिक प्रश्न पूछे जाते हैं. ऐसे प्रश्नों को हल करने में गुणा का बहुत अधिक महत्व होता है. इसलिए कम समय में अधिक प्रश्नों को हल करने हेतु गुणा का Short-Cut Methods अपनाना बहुत आवश्यक है संख्याओं का गुणनफल निकालने के लिए प्रतियोगियों को चाहिए कि वे 1-30 तक का पहाड़ा (Table) भी याद कर लें ताकि वे शीघ्रता से गुणा कर सकें.

TYPE-1:  Multiplication of two, two-digit numbers:

TRICK:
General Form: AB × CD =?
Working Steps:
1st Step. B × D
2nd Step. A × D + B × C
Last Step. A × C

 

Example: 42 × 56 =?
Explanation:
1st Step. (2 × 6) = 12 ⇒ 12
2nd Step. (4 × 6+ 2 × 5) = 34 ⇒ 34
Last Step. (4 × 5) = 20
अभीष्ट गुणनफल = 203412=2352 Ans.
Note : यहाँ 1 तथा 3 क्रमश: 12 तथा 34 से प्राप्त हासिल के अंक हैं.

 

TYPE-2 : Multiplication of two, three-digit numbers:
TRICK:
General Form: ABC × DEF = ?
Working Steps:
1st Step. C × F
2nd Step. B × F + C × E
3rd Step. A × F + B × E + C × D
4th Step. A × E + B × D
Last Step. A × D

 

Example: 346 × 527 = ?
Explanation :
1st Step. 6 × 7= 42 ⇒ 42
2nd Step. 4 × 7+ 6 × 2 = 40 ⇒ 40
3rd Step.3 × 7+ 4 × 2 + 6 × 5 = 59 ⇒ 59
4th Step. 3 × 2 + 4 × 5 = 26 ⇒ 26
Last Step. 3 × 5 = 15 ⇒ 15
अभीष्ट गुणनफल = 1526594042 = 182342 Ans.
Note : यहाँ 4, 4, 5 तथा 2 क्रमश: 42, 40, 59 तथा 26 से प्राप्त हासिल के अंक हैं.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1)234 × 567=?
(2)436 × 714=?
(3)814 × 532=?
(4)427 × 931=?
(5) 732 × 453 = ?

 

 

TYPE-3:  Multiplication of two, four-digit numbers: 

TRICK:

General Form: ABCD × EFGH = ?
Working Steps:
1st Step. D × H
2nd Step. C × H + D × G
3rd Step. B × H + C × G + D × F
4th Step. A × H + B × G + C × F + D × E
5th Step. A × G + B × F + C × E
6th Step. A × F + B × E
Last Step. A × E

 

Example: 5314 × 6272 = ?
Explanation: 1st Step. 4 × 2 = 8
2nd Step. 1 × 2 + 4 × 7 = 30 ⇒ 30
3rd Step. 3 × 2 + 1 × 7+ 4 × 2 = 21 ⇒ 21
4th Step. 5 × 2 + 3 × 7+1 × 2 + 4 × 6 = 57 ⇒ 57
5th Step. 5 × 7+ 3 × 2 + 1 × 6 = 47 ⇒ 47
6th Step.5  × 2 + 3 × 6= 28 ⇒ 28
Last Step.5 × 6 = 30
अभीष्ट गुणनफल = 302847573130= 3332940 Ans.

Note: इसी प्रकार पाँच तथा छ: अंकों की संख्याओं का गुणनफल भी ज्ञात किया जा सकता है.

 

 

TYPE-4: Multiplication of two numbers of different lengths:

1. यदि तीन अंकों की किसी संख्या में दो अंकों की किसी दूसरी संख्या से गुणा करना हो तो दो अंकों वाली संख्या के बायीं तरफ एक शून्य (0) बैठाकर तीन अंकों की संख्या बना ली जाती है और तीन अंकों की संख्या को तीन अंकों की संख्या से गुणा करने की विधि द्वारा गुणनफल प्राप्त किया जाता है.

2. यदि चार अंकों की किसी संख्या में तीन अंकों की किसी दूसरी संख्या से गुणा करना हो तो तीन अंकों की संख्या के बायीं ओर एक शून्य (0) बैठाकर चार अंकों की संख्या बना ली जाती है तथा चार अंकों की संख्या को चार अंकों की संख्या से गुणा करने की विधि द्वारा गुणनफ प्राप्त किया जाता है.

 

Example 1. 753 × 46 = ?
Explanation: 1st Step. 3 × 6 = 18 ⇒ 18
2nd Step. 5 × 6 + 3 × 4 = 42 ⇒ 42
3rd Step.7 × 6+5 × 4 + 3 × 0 = 62 ⇒ 62
Last Step. 7 × 4 +5 × 0 = 28 ⇒ 28
अभीष्ट गुणनफल = 28624218 = 34638 Ans.

 

Example 2. 4326 × 532 = ?
Explanation: 1st Step. 6 × 2 = 12 ⇒ 12
2nd Step. 2 × 2 + 6 × 3 = 22 ⇒ 22
3rd Step. 3 × 2 + 2 × 3 + 6 × 5 = 42 ⇒ 42
4th Step. 4 × 2 + 3 × 3 + 2 × 5 + 6 × 0 = 27 ⇒ 27
5th Step. 4 × 3 + 3 × 5 + 2 × 0 = 27 ⇒ 27
Last Step. 4 × 5 + 3 × 0 = 20
अत: अभीष्ट गुणनफल = 202727422212=2301432 Ans.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1)367 × 56=?
(2)432 × 92=?
(3)64 × 327=?
(4)4326 × 538=?
(5)7432 × 627=?
(6)234 × 8321=?
(7)53261 × 234=?
(8)4326 × 54213=?
(9) 4325 × 36 =?

 

TYPE-5

Multiplication in a Certain Number by Any Number from 11 to 19:

TRICK : किसी गुण्य में 11 से 19 तक की किसी भी संख्या से गुणा करने हेतु उस गुण्य के प्रत्येक अंक की गुणक से गुणा करके गुणनफल प्राप्त किया जाता है. .

Example: 34526 × 13 = ?
Explanation: 1st Step. 6 × 13 = 78 ⇒ 78
2nd Step. 2 × 13 = 26 ⇒ 26
3rd Step. 5 × 13 = 65 ⇒ 65
4th Step. 4 × 13 = 52 ⇒ 52
Last Step. 3 × 13 = 39

अत: अभीष्ट गुणनफल = 3952652678 = 448838 Ans.

 

Exercise— इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1) 4153 × 11 = ?
(2)57324 × 12 = ?
(3)673216 × 13=?
(4)93245 × 14=?
(5) 23456 × 15 = ?
(6) 34326 × 16 = ?
(7) 123458 × 17 = ?
(8) 41237 × 18 = ?
(9) 72314 × 19 = ?

 

Section-A

Special Method of Multiplication on Whole Numbers:

TYPE-1 same and Ten Rule :

यदि ऐसे दो संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके इकाई अंकों का योगफल ’10’ हो तथा शेष संख्याएं समान हो तो इकाई के अंको को गुणा करके प्राप्त गुणनफल के दोनों अंकों (यदि गुणनफल एक अंक में आए तो उसके ठीक पहले (बायीं तरफ) एक शून्य’ (0) बैठाकर दो अंक पूरा कर लिया जाता है) को दाहिने तरफ (on right side) रखा जाता है तथा समान संख्या में “1” जोड़ कर दूसरी समान संख्या में गुणा करके प्राप्त गुणनफल को इन दोनों अंकों के ठीक पहले (बायीं तरफ) रख देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
( यहाँ x समान संख्या है तथा y और z क्रमशः दोनों संख्याओं के इकाई के अंक हैं)

Example: 86 × 84 = ?
Explanation : 86 × 84 = 8 × (8 + 1)/6 × 4 = 7224

 

Exercise — इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1)35 × 35=?
(2)97 × 93=?
(3)206 × 204=?
(4)129 × 121=?
(5) 1308 × 1302 = ?

 

TYPE 2
Same and Five Rule

यदि ऐसी दो संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके इकाई अंकों का योग ‘5’ हो तथा शेष संख्याएं समान हो तो इकाई के अंकों को गुना करके प्राप्त गुणनफल की बायीं और (left Side) एक शून्य (0) बैठा दिया जाता है. इसके बाद समान (similar) संख्या का वर्ग करके उस वर्ग के समान संख्या का ‘1/2′ भाग जोड़ कर प्राप्त संख्या को शून्य’ (0) के ठीक पहले (बायीं ओर) रख देने से उन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है. अत: गुणनफल =

(यहाँ x समान संख्या है तथा y और z क्रमश: दोनों संख्याओं के इकाई अंक हैं.)

Note: यदि समान संख्याओं का ‘वर्ग’ + ‘1/2’ भाग के योग में ‘1/2’ आए तो ‘1/2 ’ के लिए दहाई स्थान पर उपस्थित शून्य में ‘5’ जोड़ दिया जाता है.

 

 

TYPE 3 Ten and Same Rule

TRICK – यदि ऐसे दो संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके इकाई अंक समान हों तथा दहाई के अंकों का योगफल 10 हो, तो इकाई के अंकों का वर्ग करके प्राप्त संख्या के दोनों अंकों (यदि इकाई के समान अंक का वर्ग करने के बाद एक ही अंक प्राप्त हो तो उसके बायीं ओर एक शून्य (0) बैठा दिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा दहाई के अंकों के गुणनफल में इकाई का अंक जोड़ कर प्राप्त संख्या को उन दोनों अंकों के ठीक बायीं तरफ रख देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अत: गुणनफल = y × z + x/x2 (यहाँ y तथा z क्रमश: पहली तथा दूसरी संख्या के दहाई के अंक है और 2 इकाई का समान अंक है)

 

 

TYPE 4 Five and Same Rule
TRICK : यदि ऐसे दो संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके इकाई अंक समान हो तथा दहाई के अंकों का योगफल ‘5’ हो तो इकाई के समान अंक का वर्ग करके प्राप्त संख्या के दोनों अंकों (यदि इकाई के समान अंक का वर्ग करने के बाद एक ही अंक प्राप्त हो तो उसके बायीं ओर एक शून्य’ (0) बैठा दिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा दहाई के अंकों के गुणनफल में इकाई अंक का आधा ‘1/2’ जोड़ कर प्राप्त संख्या को उन दोनों संख्याओं के ठीक बायीं तरफ रख देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अत: गुणनफल =

(यहाँ y तथा z क्रमश: पहली तथा दूसरी संख्या के दहाई के अंक है)

Note: 1/2 =10/2 = 5, अर्थात ½ के लिए 5 को दायीं ओर के अंक 4 में जोड़ दिया जाता है.

 

 

TYPE-5
Same and Twenty Rule

TRICK – यदि गुण्य के अंतिम दो अंक तथा गुणक के अंतिम दो अंकों का योग 20 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य के अंतिम दो अंक तथा गुणक के अंतिम दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आए तो बायीं ओर शून्य (0) बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में समान संख्या का ही 1/5 भाग जोड़ कर उनके ठीक बायीं ओर रख
देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है. अत: गुणनफल =

(यहाँ x समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के दो-दो अंक हैं.)

Note: 1/5= 10/5= 2 , अर्थात् 1/5 के लिए 2 को दायीं ओर के अंक शून्य (0) में जोड़ दिया जाता है.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1)4506 × 4514=?
(2)2411 × 2409=?
(3)2504 × 2516=?
(4)1815 × 1805=?
(5)1503 × 1517=?

 

TYPE-6 Same and Forty Rule:

TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंको का योगफल 40 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आये तो बायीं तरफ शून्य (0) बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में समान संख्या का ही 2/5 भाग जोड़ कर उनके ठीक बायीं ओर रख देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है. अत: गुणनफल =

(यहाँ c समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंक हैं.)

Note : 4/5=40/5=8 अर्थात् 4/5 के लिए 8 को दायीं ओर के अंक शून्य (0) में जोड़ दिया जाता है.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1)5523 × 5517=?
(2)1512 × 1528=?
(3)2231 × 2209=?
(4)3618 × 3622=?
(5)1308 × 1332=?

 

TYPE – 7  Same and Fifty Rule

TRICK : यदि गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंको का योगफल 50 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आये तो बायीं तरफ शून्य बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में उसी समान संख्या का ‘1/2’ भाग जोड़ कर उनके ठीक बायीं ओर लिख देने से इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अत: गुणनफल =

(यहाँ x समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंक हैं.)

Note: 1/2 = 10/2 = 5, अर्थात् ½ के लिए 5 को दायीं ओर के अंक शून्य में जोड़ दिया जाता है.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1)4032 × 4018 = ?
(2)2428 × 2422 = ?
(3)2919 × 2931 = ?
(4) 2535 × 2515 = ?
(5)934 × 916 = ?

 

TYPE-8 Same and Sixty Rule:
TRICK : यदि गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंको का योगफल 60 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आये तो बायीं तरफ ‘0’ बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है.) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में उसी संख्या का ‘3/5’ भाग जोड़ देने से उस संख्या का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अत: गुणनफल =

(यहाँ x समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंक हैं.)

Note: 1/5= 10/5 = 2 अर्थात 1/5 के लिए 2 को दायीं ओर के अंक शून्य (0) में जोड़ दिया जाता है.

 

 

TYPE-9 same and Eighty Rule

TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंको का योगफल ’80 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आये तो बायीं तरफ ‘0’ बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है.) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में उसी संख्या का 4/5 भाग जोड़ देने पर उस संख्या का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अतः गुणनफल =

(यहाँ x समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के दो-दो अंक हैं)

 

Note : 3/5=30/5=6 अर्थात् 3/5 के लिए 6 को दायीं ओर के अंक 1 में जोड़ दिया जाता है.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1)565 × 515=?
(2)832 × 848=?
(3)4546 × 4534=?
(4)5225 × 5255=?
(5) 1872 × 1808 = ?

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1)2541 × 2519=?
(2)3537 × 3523=?
(3)2827 × 2833=?
(4)2436 × 2424=?
(5)1645 × 1615=?

 

TYPE – 10 Same and Hundred Rule
TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों का योगफल 100 हो तथा शेष संख्याएँ समान हों तो गुण्य तथा गुणक के अंतिम दो-दो अंकों के गुणनफल के चारों अंकों (यदि गुणनफल चार अंक में नहीं आये तो बायीं तरफ ‘0’ बैठाकर चार अंक पूरा कर लिया जाता है) को दाहिने तरफ रखा जाता है तथा समान संख्या के वर्ग में उसी समान संख्या को जोड़ कर प्राप्त योगफल को ठीक बायीं तरफ रख देने पर उन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त हो जाता है.
अत: गुणनफल = x2 + x/y × z

(यहाँ x समान संख्या है और y तथा z क्रमश: गुण्य तथा गुणक के दो-दो अंक हैं.)

 

 

 

Exercise इन्हें TRICK द्वारा हल करें
(1)1773×1727=?
(2)2956×2944=?
(3)3678 x 3622 = ?
(4) 6585 x 6515 = ?
(5) 8268 x 8232 = ?

 

Section-B

Multiplication of any number by Repeated digit Numbers

TYPE -1
TRICK: यदि किसी चार अंकों की संख्या को ’11” से गुणा करना हो, तो उस संख्या के इकाई अंक, इकाई तथा दहाई के अंको का योग, दहाई तथा सैकड़ा के अंकों का योग, सैकड़ा तथा हजार के अंकों का योग और अन्तत: हजार के अंक को गुणनफल के लिए क्रमश: इकाई, दहाई, सैकड़ा, हजार तथा दस हजार के स्थान पर रखा जाता है. साथ ही साथ हासिल को अपने बायीं ओर जोड़ा जाता है.
Note: यहाँ गुणक 11 में दो अंक हैं, इसलिए अधिकतम दो अंक जोड़ा गया है. इसी प्रकार 111 में तीन अंक है, इसलिए अधिकतम तीन अंक जोड़ा जाएगा और इसी तरह की क्रिया ‘1111′, ‘11111’ आदि के साथ भी की जाती है.

Example 1. 2346 × 11 = ?
Explanation : 1st Step. = 6
2nd Step. (4 + 6) = 10 ⇒ 10
3rd Step. (3 + 4) = 7
4th Step. (2 + 3) = 5
Last Step. 2
अत: अभीष्ट गुणनफल = 257106 = 25806 Ans.

 

Example 2. 4327 x 111 = ?
Explanation: 1st Step. = 7
2nd Step. (2+7) = 9
3rd Step. (3 + 2 +7) = 12 ⇒ 12
4th Step. (4 + 3 + 2) = 9
5th Step. (4 + 3) = 7
Last Step. 4
अत: अभीष्ट गुणनफल = 4791297 = 480297 Ans.

 

Example 3. 53148 × 1111 = ?
Explanation: 1st Step. 8
2nd Step. (4 + 8) = 12 ⇒ 12
3rd Step. (1 + 4 + 8) = 13 ⇒ 13
4th Step. (3 + 1 + 4 + 8) = 16 ⇒ 16
5th Step. (5 + 3 + 1 + 4) = 13 ⇒ 13
6th Step. (5 + 3 + 1) = 9
7th Ste. (5 + 3) = 8
Last Step. 5
अत: अभीष्ट गुणनफल 5 8 9 13 16 13 12 8 = 59047428 Ans.
Note : यदि गुण्य के अंकों की संख्या गुणक के अंकों की संख्या से कम हो तो गुण्य के बायीं ओर शून्य (0) बैठाकर गुणक के अंकों की संख्या के बराबर कर लिया जाता है तथा उपरोक्त नियमानुसार गुणनफल प्राप्त किया जाता है.

 

Example 4. 734 × 1111 = ?
Explanation: ? = 0734 × 1111
1st Step. 4
2nd Step. (3 + 4) = 7
3rd Step. (7+ 3 + 4) = 14 ⇒ 14
4th Step. (0+7+ 3 + 4) = 14 ⇒ 14
5th Step. (0+7+ 3) = 10 ⇒ 10
Last Step. (0+7) = 7

अभीष्ट गुणनफल = 7 10 14 14 7 4=815474 Ans

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1) 234 × 11 = ?
(2) 4563 × 111 = ?
(3) 632 × 111 = ?
(4)52362 × 1111 = ?
(5)7324 × 1111=?
(6)32145 × 11111=?
(7) 823 × 1111 = ?
(8)3267 × 11111 = ?
(9) 431 × 11111 = ?
(10)1234 × 111111=?

 

TYPE-2 Multiplication By Repeated digit 2 to 8 Numbers

TRICK:  यदि किसी चार अंको वाली संख्या को 222 से गुना करना हो, तो उस संख्या के इकाई का अंक , इकाई तथा दहाई के अंको का योग , इकाई , दहाई तथा सैकड़ा के अंको का योग , दहाई , सैकड़ा तथा हजार के अंको का योग और हजार के अंक को 2 से गुणा करके प्राप्त संख्या को गुणनफल के लिए क्रमशः इकाई, दहाई , सैकड़ा , हजार, दस हजार तथा लाख के स्थान पर रखा जाता है । साथ ही साथ हासिल को अपने बायीं ओर जोड़ा जाता है ।
Note:
(i) यदि गुणक दो, चार या पाँच अंको का होगा तो अधिकतम अंको का योग क्रमश: दो, चार तथा पाँच अंकों का होगा.
(ii) यदि पूनरावृति का अंक 3, 4, 5 … या 8 रहने पर उपयुक्त पद को क्रमश: 3, 4, 5. या 8 से गुणा किया जाएगा.

Example 1. 6324 × 222 = ?
Explanation :
1st Step. 4 × 2 = 8
2nd Step. (2 + 4) × 2 = 12 ⇒ 12
3rd Step. (3 + 2 + 4) × 2 = 18 ⇒ 18
4th Step. (6+ 3 + 2) × 2 = 22 ⇒ 22
5th Step. (6+3) × 2 = 18 ⇒ 18
Last Step.6 × 2 = 12
अत: अभीष्ट गुणनफल = 12 18 28 2 18 12 8 = 1403928 Ans.

 

Example 2. 234 × 33 = ?
Explanation: 1st Step. 4 × 3 = 12 ⇒ 12
2nd Step. (3 + 4) × 3 = 21 ⇒ 21
3rd Step. (2+3) × 3 = 15 ⇒ 15
Last Step. 2 × 3 = 6 ,
अभीष्ट गुणनफल =6 15 21 12=7722 Ans.

 

Example 3. 1231 × 6666 = ?
Explanation: 1st Step. 1 × 6 = 6
2nd Step. (3 + 1) × 6 – 24 ⇒ 24
3rd Step. (2 + 3 + 1) × 6=36 ⇒ 36.
4th Step. (1 + 2 + 3 + 1) × 6 = 42 ⇒ 42
6th Step. (1 + 2) × 6 = 18 ⇒ 18
Last Step.1 × 6 = 6
अत: अभीष्ट गुणनफल = 618364236246 = 8205846 Ans.

Note: यदि गुण्य के अंकों की संख्या गुणक के अंकों की संख्या से कम हो तो गुण्य के बायीं ओर शून्य (0) बैठाकर गुणक के अंकों की संख्या के बराबर कर लिया जाता है तथा उपरोक्त नियमानुसार गुणनफल प्राप्त किया जाता है.

 

Example 4.  432 × 88888 = ?
Explanation: ? = 00432 × 88888 = …
1st Step. 2 × 8 = 16 ⇒ 16
2nd Step. (3 + 2) × 8 = 40 ⇒ 40
3rd Step. (4 + 3 + 2) × 8 = 72 ⇒ 72
4th Step.(0 + 4 + 3 + 2) × 8 = 72 ⇒ 72
5th Step. (O+ 0 + 4 + 3 + 2) × 8 = 72 ⇒ 72
6th Step.(4+3) × 8 = 56 ⇒ 56
Last Step. 4 × 8 = 32
अत: अभीष्ट गुणनफल = 32 56 72 72 72 40 16 = 38399618 Ans.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1)326 × 22=?
(2) 7321 × 333 = ?
(3) 2341 × 4444=?
(4) 516 × 555 = 7
(5) 623 × 6666 = ?
(6)243 × 77777=?
(7)824 × 888=?
(8) 1213 × 88888 = ?

 

Section-C

Multiplication of two Numbers in the Neighborhood of 100
TYPE -1

TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक दोनों 100 से छोटी संख्याएँ हों तो दोनों संख्याओं में 100 से जितनी कमी होगी उन कमियों को गुणा करके प्राप्त संख्या के दो अंक को गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है तथा पहली संख्या में से दूसरी संख्या के कमी को घटाकर प्राप्त संख्या को गुणनफल के लिए बायीं ओर रखा जाता है.

Note: यदि कमियों का गुणनफल एक अंक में आए तो बायीं ओर शून्य (0) बैठाकर दो अंक पूरा कर लिया जाता है और यदि गुणनफल तीन अंक में आए तो इसके बायीं ओर के एक अंक को हासिल ले लिया जाता है.

Example 1. 96 × 92 = ?
Explanation : ?= 96 – 8/4 × 8 = 88/32 = 8832 [“100–96” = 4 तथा “100–92” = ৪]

 

Example 2. 83 × 87 = ?
Explanation: ? = 83 – 13/17  ×  13 = 70 /21 = 7221 Ans. [ “100–83”= 17 तथा “100-87”= 13)

 

Example 3. 96 × 98 = ?
Explanation: ? = 96 – 2/4 x 2 = 94 / 08 = 9408 Ans. [ “100-96” = 4 तथा “100 – 98” = 2]

 

TYPE -2

TRICK : यदि गुण्य तथा गुणक दोनों 100 से बड़ी संख्याएँ हों तो दोनों संख्याएँ 100 से जितनी अधिक होगी उन वृद्धियों को गुणा करके प्राप्त गुणनफल के दो अंकों को दी गई संख्याओं के गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है तथा पहली संख्या में दूसरी संख्या के वृद्धि को जोड़कर प्राप्त संख्या को गुणनफल के लिए बायीं ओर रखा जाता है.
Note : यदि वृद्धि का गुणनफल एक अंक में आए तो बायीं एक शून्य (0) बैठाकर दो अंक पूरा कर लिया जाता है गुणनफल तीन अंक में आए तो इसके बायीं ओर के एक अं हासिल ले लिया जाता है.

Example 1. 107 × 109 = ?
Explanation: ? = 107 + 9/7 × 9= 116/63 = 11663 Ans.

 

Example 2 103 × 102 = ?
Explanation : ? = 103 + 2/3 × 2 = 105/06 = 10506 Ans.

 

TYPE -3

TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक में से कोई एक संख्या 100 से छोटी तथा दूसरी संख्या 100 से बड़ी हो तो दोनों संख्याओं में 100 से क्रमश: जितनी कमी या वृद्धि होगी तो उन दोनों को गुणा करके प्राप्त गुणनफल के दो अंकों को बायीं ओर से एक अंक लेकर 100 में से घटाकर दिए गए संख्याओं के गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है और पहली संख्या में दूसरी संख्या के वृद्धि को जोड़कर या कमी को उस संख्या में से घटाकर प्राप्त संख्या से एक कम को उन संख्याओं के गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है.

Example 1. 93 x 108 = ?
Explanation: ? = 93+8 / 7 × 8 = 101/56 = 100/(100 – 56) = 10044 Ans.

 

Example 2. 86 × 109 = ?
Explanation: ? = 86+ 9/14 × 9 = 95/126 = 93/(200-126) = 93/74 – 9374 Αns.

Note: 100 से 126 अधिक है . इसलिए बायीं ओर से 2 लेकर 200 में से 126 को घटाया जाता है.

 

Exercise – इन्हे Trick द्वारा हल करें.
(1) 92 × 97 = ?
(2) 88 × 96 = ?
(3) 107 × 103 =?
(4)94 × 107 =?
(5) 91 × 119 = ?

 

Multiplication of Two Numbers in the Neighbourhood of 1000:
TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक दोनों संख्याएँ 1000 से छोटी हो या बड़ी हो या उनमें से एक संख्या छोटी तथा दूसरी संख्या बड़ी हो तो दोनों संख्याओं में 1000 से जितनी कमी या वृद्धि होगी, दोनों को गुणा करके प्राप्त संख्या के तीन अंक को दिये गये संख्याओं के गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है और पहली संख्या में से दूसरी संख्या के कमी को घटाकर या वृद्धि को जोड़कर प्राप्त संख्या को उन संख्याओं के गुणनफल के लिए बायीं ओर रखा जाता है.

Note: गुण्य और गुणक में कोई एक संख्या 1000 से छोटी और दूसरी संख्या बड़ी हो तो कमी और वृद्धि को गुणा करके प्राप्त गुणनफल के तीन अंकों को 1000 में से घटाकर गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है.

Example 1. 994 × 991 = ?
Explanation: ? = 994 – 9 / 6 × 9 = 985 / 054 = 985054 Ans.

 

Example 2. 1012 × 1019 = ?
Explanation: ? = 1012 + 19 / 12 × 19 = 1031 / 228 = 1031228 Ans.

 

Example 3. 982 × 1014 = ?
Explanation: ? = 982+14/18×14=996/252
=995/(1000-252) =995/748 = 995,748 Ans.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1) 986 × 983 = ?
(2) 1015 × 1021 =?
(3) 1009 × 1013 = ?
(4) 978 × 1017 = ?
(5).979 × 1023 = ?

 

Multiplication of Two Numbers in the Neighbourhood of 50

TRICK – यदि गुण्य तथा गुणक दोनों संख्याएँ 50 से छोटी हों या बड़ी हों तो दोनों संख्याएँ 50 से जितनी अधिक या कम होगी उस वृद्धि या कमी को गुणा करके प्राप्त गुणनफल के दो अंकों को दिए गए संख्याओं के गुणनफल के लिए दायीं ओर रखा जाता है. इसके बाद पहली संख्या में दूसरी संख्या के वृद्धि को जोड़ दिया जाता है या कमी को घटा दिया जाता है. इस प्रकार प्राप्त संख्या को 2 से भाग देकर भागफल को संख्याओं के गुणनफल के लिए बायीं ओर रखा जाता है.

Note:1/2 =10/2 =5 अर्थात् 1/2 के लिए 5 को दायीं ओर के अंक 2 में जोड़ दिया जाता है.

 

Exercise :
(1) 57 × 56 = ?
(2)52 × 58=?
(3) 41 × 48 = ?
(4) 43 × 47 = ?
(5) 42 × 49 = ?

 

Section-D

Multiplication. By 5, 25, 125 and 625

TRICK- यदि किसी संख्या में 5, 25, 125 या 625 से गुणा करना हो तो उस संख्या के दाहिने तरफ क्रमश: एक, दो, तीन या चार शून्य बैठा कर क्रमश: 2,4, 8 या 16 से भाग देने पर गुणनफल प्राप्त हो जाता है.

Example 1. 4326 × 5 = ?
Explanation: ? = 4326 × 5 = 43260/2 = 21630 Ans.

 

Example 2. 53624 × 25 = ?
Explanation: ? = 53624 × 25 =5362400/4 = 1340600 Ans.

 

Example 3. 6237 × 125 = ?
Explanation: ? = 6237000/8 = 779625 Ans.

 

Example 4. 732 x 625 = ?
Explanation: ? = 7320000 /16 = 457500 Ans.

 

Exercise – इन्हे Trick द्वारा हल करें.
(1)7354 × 5=?
(2)3692 × 25=?
(3)6725 × 125=?
(4)234 × 625=?
(5)437 × 625=?

 

Multiplication By 75:

TRICK – यदि किसी संख्या को 75 से गुणा करना हो तो उस संख्या के दाहिने ओर दो शून्य बैठाकर 3 से गुणा करके 4 से भाग देने पर गुणनफल प्राप्त होता है.

Example: 3467 × 75 = ?

Explanation: ?=3467 × 75= 3 × 349799 = 3 × 86675 = 260025 Ans.

 

Unit digit 5 and Difference 10 Rule

TRICK – यदि ऐसे दो संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके इकाई का अंक 5 हो तथा उनका अन्तर 10 हो तो उन संख्याओं के गुणनफल के लिए दाहिने और 76 लिखा जाता है तथा दोनों संख्याओं के इकाई के अंक 5 को छोड़कर शेष संख्या में जो संख्या बड़ी होगी उसमें 1 जोड़कर दूसरी शेष संख्या से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को उन संख्याओं के गुणनफल के लिए बायीं ओर रखा जाता है.

Example : 125 × 135 = ?
Explanation : ?= 125 × 135 = 12 × (13 + 1)/75
=156/75 = 15675. Ans.

 

Exercise – इन्हें TRICK द्वारा हल करें –
(1) 4265 × 75=?
(2) 73216 × 75=?
(3) 205 × 215 =?
(4) 145 × 155 =?
(5) 315 × 325=?

 

Section – E

General Rules of Multiplication on Mixed Numbers

TYPE-1 integral and Fractional Both parts Different Rule

 

 

TYPE-2 : Integral parts same and Fractional Parts Different Rule

 

 

TYPE-3 : Integral Parts Different and Fractional Parts same Rule

 

 

Special Rules of Multiplication on Mixed Numbers

TYPE-1  Same and One Rule :

TRICK : यदि ऐसे दो Mixed Numbers का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके Fractional Parts का योगफल 1 हो और Integral Part समान हो तो उन संख्याओं के गुणनफल के लिए Fractional Parts को गुणा करके प्राप्त गुणनफल को दायीं ओर लिखा जाता है तथा समान Integral Part में से किसी एक में 1 जोड़कर उसे समान संख्या से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को बायीं ओर लिखा जाता है ।

 

 

TYPE-2  Same and Half Rule :

TRICK – यदि ऐसे दो Mixed Numbers का गुणनफल ज्ञात करना हो जिनके Fractional Parts का योगफल ½ हो और Integral Part समान हो तो उन संख्याओं के गुणनफल के लिए Fractional Parts को गुणा करके प्राप्त गुणनफल को दायीं ओर लिखा जाता है तथा समान Integral Part में से किसी एक के वर्ग में उसके आधे भाग को जोड़कर प्राप्त योगफल को उन संख्याओं के गुणनफल के लिए बायीं ओर लिखा जाता है.

Note: यदि Fractional Part का योगफल 1/3, 1/4, 1/8, 1/16… इत्यादि हो तो समान Integral Part के वर्ग में उस Integral Part को क्रमश: 1/3 1/4 1/8 1/16 ….इत्यादि से गुणा करके जोड़ दिया जाता है तथा इस प्राप्त योगफल को बायीं ओर लिखा जाता है ।

 

Multiplication of Mixed Numbers By whole Numbers:

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